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Dans un repère orthonormé, $\mathcal{P}$ est la parabole d'équation $y=x^2$ et pour tout nombre réel $m$, $d_m$ est la droite d'équation réduite $y=2x+m$.
On considère le cas où la droite coupe $\mathcal{P}$ en deux points $A$ et $B$ et le point $C$ est le milieu de [AB].
Le but du problème est de déterminer l'ensemble décrit par le point C lorsque $m$ varie dans $\mathcal{R}$.
  1. Avec GEOGEBRA, en créant un curseur $m$ variant de $-5$ à $20$ et ayant comme pas $ 0,1$, afficher la trace du point $C$ lorsque $m$ varie.
    Que peut-on conjecturer sur la valeur de $m$ pour avoir deux points d'intersection entre $d_m$ et $\mathcal{P}$?
    Que peut-on conjecturer sur l'ensemble décrit par le point C?
    Tracer la parabole $y=x^2$
    Créer un curseur nommé $m$
    Tracer $y=2x+m$
    Marquer $A$ et $B$ points d'intersection de $C_f$ et $D_m$
    Placer$C$ milieu de $[AB]$ et dans les options du point C activer la trace
    Déplacer le curseur $m$
    Tracer $C_F$ en saisissant $y=x^2$ dans la barre de saisie (en bas d'écran)

    Créer un curseur nommé $m$ variant de $-5$ à $20$
    Tracer $y=2x+m$ en saisissant $y=2x+m$ dans la barre de saisie
    Marquer $A$ et $B$ points d'intersection de $C_f$ et $D_m$ (créer un point d'intersection)
    Placer $C$ milieu de $[AB]$ et dans les options du point C activer la trace et déplacer le curseur $m$

  2. Démontrer que la droite $d_m$ coupe la parabole $\mathcal{P}$ en deux points A et B distincts si et seulement si $m>-1$.

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    Les abscisses des points d'intersection A et B vérifient l'équation $x^2=2x+m$
    Se ramener à une équation de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c=0$
    Pour que cette équation admette deux solutions, il faut $\Delta>0$, en déduire la valeur de $m$
    Les abscisses des points d'intersection A et B de la droite et de la parabole vérifient l'équation $x^2=2x+m$
    $x^2=2x+m$
    $\Longleftrightarrow x^2-2x-m=0$
    Calcul du discriminant:
    $\Delta=(-2)^2-4\times (1)\times (-m)=4+4m$

    Il y a deux solutions distinctes si $\Delta>0$
    $\Delta>0$
    $\Longleftrightarrow 4+4m>0$
    $\Longleftrightarrow 4m>-4$
    $\Longleftrightarrow m>-1$

  3. Exprimer les abscisses des points $A$ et $B$ en fonction de $m$ et en déduire l'abscisse du point $C$ puis conclure.

    Coordonnées du milieu d'un segment


    Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$
    Les abscisses des points d'intersection A et B sont les solutions de l'équation $x^2-2x-m=0$.
    Le milieu C de [AB] a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2} \right)$
    Les abscisses des points d'intersection A et B de la droite et de la parabole vérifient l'équation $x^2-2x-m=0$
    Recherche des racines quand $m>-1$:
    $\Delta=(-2)^2-4\times 1\times (-m)=4+4m=4(m+1)$

    Il y a deux solutions distinctes si $\Delta>0$ soit pour $m>-1$
    $x_A=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    $=\dfrac{2-2\sqrt{m+1}}{2}$
    $=\dfrac{2(1-\sqrt{m+1})}{2}$
    $=1-\sqrt{m+1}$
    et
    $x_B=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    $=\dfrac{2+\sqrt{4(1+m)}}{2}$

    $=\dfrac{2+2\sqrt{1+m}}{2}$
    $=1+\sqrt{1+m}$
    $C$ milieu de $[AB]$
    $x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}$
    $=\dfrac{1-\sqrt{m+1}+1+\sqrt{m+1}}{2}=\dfrac{2}{2}=1$
    Calcul de $y_C$
    $y_A=f(x_A)=(1-\sqrt{m+1})^2=1-2\sqrt{m+1}+(m+1)^2$
    $y_B=f(x_B)=(1+\sqrt{m+1})^2=1+2\sqrt{m+1}+(m+1)^2$
    $y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
    $=\dfrac{1-2\sqrt{m+1}+(m+1)^2+2\sqrt{m+1}+(m+1)^2}{2}$
    $=\dfrac{2+2(m+1)^2}{2}$
    $=1+(m+1)^2$
    Or $m>-1$ donc $m+1>0$ et donc $y_C>1$

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