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Dans un repère orthonormé, $\mathcal{P}$ est la parabole d'équation $y=x^2$ et pour tout nombre réel $m$, $d_m$ est la droite d'équation réduite $y=2x+m$.
On considère le cas où la droite coupe $\mathcal{P}$ en deux points $A$ et $B$ et le point $C$ est le milieu de [AB].
Le but du problème est de déterminer l'ensemble décrit par le point C lorsque $m$ varie dans $\mathcal{R}$.
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On considère le cas où la droite coupe $\mathcal{P}$ en deux points $A$ et $B$ et le point $C$ est le milieu de [AB].
Le but du problème est de déterminer l'ensemble décrit par le point C lorsque $m$ varie dans $\mathcal{R}$.
- Avec GEOGEBRA, en créant un curseur $m$ variant de $-5$ à $20$ et ayant comme pas $ 0,1$, afficher la trace du point $C$ lorsque $m$ varie.
Que peut-on conjecturer sur la valeur de $m$ pour avoir deux points d'intersection entre $d_m$ et $\mathcal{P}$?
Que peut-on conjecturer sur l'ensemble décrit par le point C?
Tracer la parabole $y=x^2$
Créer un curseur nommé $m$
Tracer $y=2x+m$
Marquer $A$ et $B$ points d'intersection de $C_f$ et $D_m$
Placer$C$ milieu de $[AB]$ et dans les options du point C activer la trace
Déplacer le curseur $m$Tracer $C_F$ en saisissant $y=x^2$ dans la barre de saisie (en bas d'écran)
Créer un curseur nommé $m$ variant de $-5$ à $20$
Tracer $y=2x+m$ en saisissant $y=2x+m$ dans la barre de saisie
Marquer $A$ et $B$ points d'intersection de $C_f$ et $D_m$ (créer un point d'intersection)
Placer $C$ milieu de $[AB]$ et dans les options du point C activer la trace et déplacer le curseur $m$
- Démontrer que la droite $d_m$ coupe la parabole $\mathcal{P}$ en deux points A et B distincts si et seulement si $m>-1$.
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Les abscisses des points d'intersection A et B vérifient l'équation $x^2=2x+m$
Se ramener à une équation de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c=0$
Pour que cette équation admette deux solutions, il faut $\Delta>0$, en déduire la valeur de $m$Les abscisses des points d'intersection A et B de la droite et de la parabole vérifient l'équation $x^2=2x+m$
$x^2=2x+m$
$\Longleftrightarrow x^2-2x-m=0$
Calcul du discriminant:
$\Delta=(-2)^2-4\times (1)\times (-m)=4+4m$
Il y a deux solutions distinctes si $\Delta>0$
$\Delta>0$
$\Longleftrightarrow 4+4m>0$
$\Longleftrightarrow 4m>-4$
$\Longleftrightarrow m>-1$
- Exprimer les abscisses des points $A$ et $B$ en fonction de $m$ et en déduire l'abscisse du point $C$ puis conclure.
Coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère du plan, si on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$Les abscisses des points d'intersection A et B sont les solutions de l'équation $x^2-2x-m=0$.
Le milieu C de [AB] a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2} \right)$Les abscisses des points d'intersection A et B de la droite et de la parabole vérifient l'équation $x^2-2x-m=0$
Recherche des racines quand $m>-1$:
$\Delta=(-2)^2-4\times 1\times (-m)=4+4m=4(m+1)$
Il y a deux solutions distinctes si $\Delta>0$ soit pour $m>-1$
$x_A=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
$=\dfrac{2-2\sqrt{m+1}}{2}$
$=\dfrac{2(1-\sqrt{m+1})}{2}$
$=1-\sqrt{m+1}$
et
$x_B=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
$=\dfrac{2+\sqrt{4(1+m)}}{2}$
$=\dfrac{2+2\sqrt{1+m}}{2}$
$=1+\sqrt{1+m}$
$C$ milieu de $[AB]$
$x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}$
$=\dfrac{1-\sqrt{m+1}+1+\sqrt{m+1}}{2}=\dfrac{2}{2}=1$
Calcul de $y_C$
$y_A=f(x_A)=(1-\sqrt{m+1})^2=1-2\sqrt{m+1}+(m+1)^2$
$y_B=f(x_B)=(1+\sqrt{m+1})^2=1+2\sqrt{m+1}+(m+1)^2$
$y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
$=\dfrac{1-2\sqrt{m+1}+(m+1)^2+2\sqrt{m+1}+(m+1)^2}{2}$
$=\dfrac{2+2(m+1)^2}{2}$
$=1+(m+1)^2$
Or $m>-1$ donc $m+1>0$ et donc $y_C>1$
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