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Un canon (placé en O) tire des boulets et dans le plan de la trajectoire du boulet, la position du boulet dans le repère ci-dessous (l'unité étant le mètre) est donnée par l'équation $y=\dfrac{-1}{4000}x^2+x$.
  1. Quelle est l'altitude maximale atteinte par le boulet?
    includ119fclude
    Il faut donc chercher les coordonnées du sommet de la parabole.
    On a ici $a=\dfrac{-1}{4000}$, $b=1$ et $c=0$.
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{\dfrac{-2}{4000}}=1\times \dfrac{4000}{2}=2000$
    $\beta=\dfrac{-1}{4000}\times 2000^2+2000=-1000+2000=1000$
  2. Quelle est la portée du tir?

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    On cherche la valeur $x$ pour laquelle le boulet va retomber dans l'eau soit y=0$
    On doit résoudre $y=0$ soit $\dfrac{-1}{4000}x^2+x=0$.
    On a ici $c=0$ (voir fiche méthode ou vidéo cas particuliers) donc on peut résoudre sans calculer le discriminant $\Delta$.
    $\dfrac{-1}{4000}x^2+x=0 \Longleftrightarrow x\left(\dfrac{-1}{4000}x+1\right)=0$
    $\phantom{\dfrac{-1}{4000}x^2+x=0} \Longleftrightarrow x=0 $ ou $\dfrac{-1}{4000}x+1=0$
    $\phantom{\dfrac{-1}{4000}x^2+x=0} \Longleftrightarrow x=0 $ ou $x=4000$
  3. Une caravelle de 30 mètres de longueur est située à 3,96 km du tir (distance $OA$). De plus en son milieu, elle possède un mât de 28 mètres de hauteur. Va-t-elle être touchée par le boulet canon?
    $3,96$ km$=3960$m
    Il faut déterminer si le boulet atteindra l'arrière de la caravelle ou si il touchera le mât situé à l'abscisse 3975.
    L'arrière de la caravelle est à l'abscisse $3960+30=3990$ mètres du point $O$ (voir figure ci-dessous).

    La portée du canon est de 4000m donc le boulet ne touchera pas l'arrière de la caravelle.
    $x_C=3960+15=3975$m (le mât est situé au milieu du bateau)
    $y_C=\dfrac{-1}{4000}\times 3975^2+3975\approx 24,8$
    Pour l'abscisse $x_C=3975$, le boulet est à une altitude de $24,8$ mètres environ alors que la mât culmine à 26 mètres

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