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On donne $P(x)=2x^3-9x^2+7x+6$ défini sur $\mathbb{R}$.
  1. Déterminer un entier $\alpha$ racine de $P$.
    On cherche donc $\alpha$ tel que $P(\alpha)=0$
    On peut tester les entiers consécutifs $1$ puis 2...
    $P(2)=2\times 2^3-9\times 2^2+7\times 2+6=16-36+14+6=0$


    Si $2$ est une racine de $P$ alors $P(2)=0$ et donc si l'on écrit $P$ sous forme d'un produit de facteurs, l'un des facteurs sera $x-2$ puisque $P$ s'annule pour $x=2$
  2. En développant $P(x)=(x-\alpha)(ax^2+bx+c)$ , déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ par identification des coefficients.
    On développe $(x-2)(ax^2+bx+c)$ en fonction de $a$, $b$ et $c$
    On identifie les coefficients pour obtenir $2x^3-9x^2+7x+6$, autrement dit les coefficients de $x^3$ doivent être égaux, de même pour les coefficient de $x^2$...
    $(x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-2ax^2-2bx-2c$
    $\phantom{(x-2)(ax^2+bx+c)}=ax^3+bx^2-2ax^2+cx-2bx-2c$
    Pour tout réel $x$, on a donc $P(x)=2x^3-9x^2+7x+6=ax^3+bx^2-2ax^2+cx-2bx-2c$
    Par identification des coefficients, on a:
    Dans chacune des expressions le coefficient de $x^3$ vaut $2$ et $a$
    donc $a=2$
    Dans chacune des expressions le coefficient de $x^2$ vaut $-9$ et $b-2a$
    donc $b-2a=-9 \Longleftrightarrow b-4=-9 \Longleftrightarrow b=-5$
    $c-2b=7\Longleftrightarrow c+10=7 \Longleftrightarrow c=-3$
    On vérifie que $-2c$ est bien égal à $-6$
    $c=-3$ donc $-2c=-2\times (-3)=6$
    On a donc $a=2$, $b=-5$ et $c=-3$
  3. En déduire les solutions de l'équation $P(x)=0$
    include122fclue
    Chaque facteur doit être égal à $0$
    $P(x)=(x-2)(2x^2-5x-3)$
    $P(x)=0 \Longleftrightarrow (x-2)(2x^2-5x-3)=0$
    $\phantom{P(x)=0} \Longleftrightarrow x-2=0$ ou $2x^2-5x-3=0$
    $\phantom{P(x)=0} \Longleftrightarrow x=2$ ou $2x^2-5x-3=0$
    Résolution de $2x^2-5x-3=0$
    $\Delta=(-5)^2-4\times 2\times (-3)=25+24=49$
    $\Delta >0$ donc il y a deux solutions:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-7}{4}=\dfrac{-1}{2}$
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+7}{4}=3$
    donc $P(x)=0$ pour $x=2$, $x=\dfrac{-1}{2}$ et $x=3$

    $2x^2-5x-3=2(x-3)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$
    donc peut écrire $P(x)=2(x-2)(x-3)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$
  4. Complément: division de polynômes (voir vidéo)
    On peut poser la division $2x^3-9x^2+7x+6$ par $x-2$

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