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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+x+2$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
La droite $(d)$ a pour équation réduite $y=3x-2$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $C_f$ et de $(d)$.
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
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La droite $(d)$ a pour équation réduite $y=3x-2$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $C_f$ et de $(d)$.
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
Il faut avoir $f(x)=3x-2$
Les points $M(x;y)$ d'intersection de $C_f$ et de $(d)$ vérifient $3x-2=f(x)$
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3x-2$
$-2x^2+x+2=3x-2 \Longleftrightarrow -2x^2+x+2-3x+2=0$
$\phantom{-2x^2+x+2=3x-2} \Longleftrightarrow -2x^2-2x+4=0$
La somme des coefficients est nulle donc $x_1=1$ est une solution de l'équation
$x_1=1$ est une solution de l'équation car $-2\times 1^2-2\times 1+4=0$
Le produit des racines est égal à $\dfrac{c}{a}$
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
donc $1x_2=\dfrac{4}{-2}=-2$ donc $x_2=-2$
Avec le discriminant, on a: $\Delta=b^2-4ac=36$
Calcul des ordonnées Pour $x=-2$, on a $y=3\times (-2)-2=-8$
On peut contrôler que $f(-2)=-8$
Pour $x=1$, on a $y=3\times 1-2=1$
On peut contrôler que $f(1)=1$
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3x-2$
$-2x^2+x+2=3x-2 \Longleftrightarrow -2x^2+x+2-3x+2=0$
$\phantom{-2x^2+x+2=3x-2} \Longleftrightarrow -2x^2-2x+4=0$
La somme des coefficients est nulle donc $x_1=1$ est une solution de l'équation
$x_1=1$ est une solution de l'équation car $-2\times 1^2-2\times 1+4=0$
Le produit des racines est égal à $\dfrac{c}{a}$
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
donc $1x_2=\dfrac{4}{-2}=-2$ donc $x_2=-2$
Avec le discriminant, on a: $\Delta=b^2-4ac=36$
Calcul des ordonnées Pour $x=-2$, on a $y=3\times (-2)-2=-8$
On peut contrôler que $f(-2)=-8$
Pour $x=1$, on a $y=3\times 1-2=1$
On peut contrôler que $f(1)=1$
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