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Une entreprise produit 120 tables par jour et pour pouvoir respecter les délais de fabrication imposés par les clients, on décide de fabriquer 5 tables de plus chaque jour.
On note $q_n$ le nombre de tables fabriquées le $n$ième jour.
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On note $q_n$ le nombre de tables fabriquées le $n$ième jour.
- Quel est le premier terme de la suite $(q_n)$ et donner sa valeur?
- Quelle est la nature de la suite $(q_n)$?
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
$r$ est la raison de la suite.
On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$On ajoute 5 tables par jour.
exprimer $q_{n+1}$ en fonction de $q_n$Si on note $q_n$ le nombre de tables fabriquées le $n$ième jour, $q_{n+1}$ est le nombre de tables fabriquées le jour suivant.
Chaque jour, on fabrique 5 tables de plus donc $q_{n+1}=q_n+5$.
- Exprimer le nombre de tables produites le $n$ième jour de fabrication.
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$On veut exprimer $q_n$ en fonction de $n$$(q_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $q_1=120$ et de raison $r=5$
donc $q_{n}=q_1+(n-1)r=120+5(n-1)=120+5n-5=115+5n$
- Au bout de combien de jours la production journalière dépassera les 302 tables?
Il faut résoudre l'équation $q_n > 302$ d'inconnue $n$.$q_n=115+5n$
$q_n > 302 \Longleftrightarrow 115+5n > 302$
$\phantom{q_n > 302} \Longleftrightarrow 5n > 302-115$
$\phantom{q_n > 302} \Longleftrightarrow 5n > 187 $
$\phantom{q_n > 302} \Longleftrightarrow n > \dfrac{187}{5} $
or $\dfrac{187}{5}=37,4$ et $n $ est un entier donc $n\geq 38$.
Penser à contrôler avec la calculatrice.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Suites arithmétiques et géométriques
- justifier qu'une suite est arithmétique
- calculer la raison d'une suite arithmétique
- somme des termes d'une suite arithmétique
- justifier qu'une suite est géométrique
- calculer la raison d'une suite géométrique
- somme des termes d'une suite géométrique
infos: | 15mn |
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