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$(u_n)$ est une suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-2$ et $u_0=2$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$ et montrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique.

    Suite arithmétique


    Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+r$
    $r$ est la raison de la suite.
    On a alors $u_{n+1}-u_n=r$ donc la différence de deux termes consécutifs est constante et égale à $r$

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    Il faut prendre successivement $n=0$ puis $n=1$ dans la relation $u_{n+1}=3u_n-2$
    On peut calculer ensuite $u_1-u_0$ et $u_2-u_1$ puis $\dfrac{u_1}{u_0}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}
    Pour $n=0$, on a $u_{0+1}=u_1=3u_0-2=3\times 2-2=4$
    Pour $n=1$, on a $u_{1+1}=u_2=3u_1-2=3\times 4-2=10$

    $u_1-u_0=4-2=2$ et $u_2-u_1=10-4=6$
    donc la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante

    $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{4}{2}=2$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$
    donc le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant
  2. On pose $w_n=u_n-1$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    Il faut montrer qu'il existe $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, on a $w_{n+1}=qw_n$
    $w_{n+1}=u_{n+1}- 1 =3u_n-2 -1$....
    Pour tout entier naturel $n$, on a:
    $w_{n+1}=u_{n+1}-1 $
    $\phantom{w_{n+1}}=3u_n- 2- 1 $ (on a $u_{n+1}=3u_n-2$)
    $\phantom{w_{n+1}}=3u_n- 3 $ (on a $w_n=u_n-1$ donc $u_n=w_n+1$)
    $\phantom{w_{n+1}}=3(w_n+1)-3 $
    $\phantom{w_{n+1}}=3w_n $
    donc $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$
    $w_n=u_n-1$ donc $w_0=u_0-1=2-1=1$
  3. En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    On a $w_n=u_n-1$ donc $u_n=w_n+1$
    $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $w_0=1$
    donc pour tout entier naturel $n$, on a:
    $w_n=w_0q^n=1\times 3^n=3^n$
    $w_n=u_n-1$ donc $u_n=w_n+1=3^n+1$
  4. Calculer $u_{20}$.
    $u_n=3^n+1$ et donc pour $n=20$, on a:
    $u_{20}=3^{20}-1=3486784402$


    Contrôler avec la calculatrice (voir vidéo calculatrice et suites)

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