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On considère une droite $\mathcal{D}$ munie d'un repère $\left(\text{O};\overrightarrow{i}\right)$.
Soit $\left(A_{n}\right)$ la suite de points de la droite $\mathcal{D}$ ainsi définie :
- $A_{0}$ est le point O ;
- $A_{1}$ est le point d'abscisse $1$ ;
- pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$.
    1. Placer sur un dessin la droite $\mathcal{D}$, les points $A_{0}$, $A_{1}$, $ A_{2}$, $A_{3}$, $ A_{4}$, $A_{5}$ et $A_{6}$.
      On prendra 10 cm comme unité graphique.
      $A_2$ est le milieu de $[A_0A_1]$....
      Pour tout entier naturel $n$, $A_{n+2}$ est le milieu du segment $\left[A_{n}A_{n+1}\right]$
      donc $A_2$ (en prenant $n=0$) est le milieu de $\left[A_0~A_1\right]$
      De même, donc $A_3$ (en prenant $n=1$) est le milieu de $\left[A_1~A_2\right]$
    2. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ l'abscisse du point $A_{n}$.
      Calculer $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$ et $a_{6}$.
      rappel: l'abscisse du milieu $I$ de $[AB]$ est $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}$
      On a $a_0=x_{A_0}=0$ et $a_1=x_{A_1}=1$
      $a_2=x_{A_2}=\dfrac{x_{A_0}+x_{A_1}}{2}=\dfrac{a_0+a_1}{2}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$
      $a_3=x_{A_3}=\dfrac{x_{A_1}+x_{A_2}}{2}=\dfrac{a_1+a_2}{2}=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{3}{4}$
      $a_4=x_{A_4}=\dfrac{a_2+a_3}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}}{2}=\dfrac{5}{8}$
      $a_5=x_{A_5}=\dfrac{a_3+a_4}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{8}}{2}=\dfrac{11}{16}$
      $a_6=x_{A_6}=\dfrac{a_4+a_5}{2}=\dfrac{\dfrac{5}{8}+\dfrac{11}{16}}{2}=\dfrac{21}{32}$
    3. Pour tout entier naturel $n$, justifier l'égalité : $a_{n+2} = \dfrac{a_{n} + a_{n+1}}{2}$.
      $A_{n+2}$ est le milieu de de $A_{n+1}$ d'abscisse $a_{n+1}$ et de $A_{n}$ d'abscisse $a_n$
      $A_{n+2}$ d'abscisse $a_{n+2}$ est le milieu de de $A_{n+1}$ d'abscisse $a_{n+1}$ et de $A_{n}$ d'abscisse $a_n$
      donc $a_{n+2}=x_{A_{n+2}}=\dfrac{x_{A_{n+1}}+x_{A_n}}{2}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n}}{2}$
    Pour la suite, on admet que pour tout entier $n$, $a_{n+1} = - \dfrac{1}{2}a_{n} + 1$. (la question dans l'énoncé était Démontrer par récurrence que ....)
  1. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$.
    Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{2}$.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    On peut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $a_{n+1}$ puis de $a_n$ pour obtenir une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n}=a_{n} - \dfrac{2}{3}$
    donc $v_{n+1}=a_{n+1} - \dfrac{2}{3}$
    $v_{n+1}=- \dfrac{1}{2}a_{n} + 1 - \dfrac{2}{3}$
    $\phantom{v_{n+1}}=- \dfrac{1}{2}a_{n} + \dfrac{1}{3}$
    $\phantom{v_{n+1}}=- \dfrac{1}{2}\left(a_{n} - \dfrac{2}{3}\right)$ or $v_n=a_{n} - \dfrac{2}{3}$
    $\phantom{v_{n+1}}=- \dfrac{1}{2}v_n$
    donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$
    et de premier terme $v_0=a_0-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3}$
  2. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    On a $(v_n)$ suite géométrique de raison $q=\dfrac{-1}{2}$ et premier terme $v_0$.
    On a $v_n=u_n-\dfrac{2}{3}$
    a $(v_n)$ suite géométrique de raison $q=\dfrac{-1}{2}$ et premier terme $v_0$.
    donc $v_n=v_0\times q^n=-\dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{-1}{2}\right)^n$
    $v_n=a_n-\dfrac{2}{3}$ donc $a_n=v_n+\dfrac{2}{3}=\dfrac{-2}{3}\left(\dfrac{-1}{2}\right)^n+\dfrac{2}{3}$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$, puis celle de la suite $\left(a_{n}\right)$.
    en première S, les limites de fonctions n'étant plus au programme, on peut faire cette question de manière "intuitive".
    On peut chercher la limite de $2^n$ puis de $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=\dfrac{1}{2^n}$ quand $n \longrightarrow +\infty$ ($n$ devient infiniment grand).
    Chercher d'abord la limite de la suite $(v_n)$ et en déduire celle de la suite $(a_n)$.
    $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-\dfrac{2}{3}$
    donc $v_n=v_0\times q^n=-\dfrac{2}{3}\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n=-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{(-1)^n}{2^n}$
    On a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2^n=+\infty$
    donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{(-1)^n}{2^n}=0$
    et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$
    Pour tout entier naturel $n$, on a $v_{n}=a_{n} - \dfrac{2}{3}$ donc $a_n=v_n+\dfrac{2}{3}$
    et par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n+\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites arithmético-géométrique

- justifier qu'une suite auxiliaire est géométrique - déterminer la forme explicite -étude des variations


infos: | 15-20mn |

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