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La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_{n+2}=3u_{n+1}+4u_{n}$ et $u_0=1$ et $u_1=2$
  1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $w_n=u_{n+1}-4u_n$.
    Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique et en déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    Exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n+2}$ et $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ pour trouver une relation de la forme $w_{n+1}=qw_n$
    $w_n=u_{n+1}-4u_n$ donc on a:
    $w_{n+1}=u_{n+2}-4u_{n+1}$
    $\phantom{w_{n+1}}=3u_{n+1}+4u_{n}-4u_{n+1}$
    $\phantom{w_{n+1}}=-u_{n+1}+4u_{n}$
    $\phantom{w_{n+1}}=-(u_{n+1}-4u_{n})$
    $\phantom{w_{n+1}}=-w_n$

    En prenant $n=0$ dans la relation $w_n=u_{n+1}-4u_n$, on a:
    $w_0=u_1-4u_0=2-4=-2$
    $(w_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=-1$ et premier terme $w_0=-2$
    donc $w_n=w_0\times q^n=-2\times (-1)^n$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $t_n=u_{n+1}+u_n$.
    Montrer que la suite $(t_n)$ est géométrique et en déduire l'expression de $t_n$ en fonction de $n$
    Exprimer $t_{n+1}$ en fonction de $u_{n+2}$ et $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ pour trouver une relation de la forme $t_{n+}=q't_n$
    $t_n=u_{n+1}+u_n$ donc on a:
    $t_{n+1}=u_{n+2}+u_{n+1}$
    $\phantom{w_{n+1}}=3u_{n+1}+4u_{n}+u_{n+1}$
    $\phantom{w_{n+1}}=4u_{n+1}+4u_{n}$
    $\phantom{w_{n+1}}=4(u_{n+1}+u_{n})$
    $\phantom{w_{n+1}}=4t_n$

    En prenant $n=0$ dans la relation $t_n=u_{n+1}+u_n$, on a:
    $t_0=u_1+u_0=2+1=3$
    $(t_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q'=4$ et premier terme $t_0=3$
    donc $t_n=t_0\times q'^n=3\times 4^n$
  3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$
    En utilisant la relation $w_n=u_{n+1}-4u_n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $w_n$
    Remplacer alors $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ et $w_n$ dans la relation de la question 2 soit $t_n=u_{n+1}+u_n$
    $w_n=u_{n+1}-4u_n$ donc $u_{n+1}=w_n+4u_n=-2\times (-1)^n+4u_n$
    On a aussi $t_n=u_{n+1}+u_n$ donc $u_{n+1}=t_n-u_n=3\times 4^n-u_n$
    donc en remplaçant $u_{n+1}$ par $-2\times (-1)^n+4u_n$ on a:
    $-2\times (-1)^n+4u_n=3\times 4^n-u_n$
    $\Longleftrightarrow 5u_n=2\times (-1)^n+3\times 4^n$
    $\Longleftrightarrow u_n=\dfrac{2\times (-1)^n+3\times 4^n}{5 }$


    Les coefficients $-4$ et 1 donnés dans les relations $w_n=u_{n+1}-4u_n$ et $t_n=u_{n+1}+1u_n$ sont les racines de l'équation $q^2=3q+4$ obtenue avec la relation $u_{n+2}=3u_{n+1}+4u_n$ lorsque l'on cherche une suite géométrique de raison $q$ vérifiant la relation de récurrence pour définir la suite $(u_n)$

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