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Chaque année, un bien immobilier augmente de 5%.
On note $P_n$ le prix de ce bien immobilier en $2015+n$ avec $n$ entier naturel.
En 2015, ce bien immobilier est évalué à 200~000 euros.
  1. Déterminer $P_0$.
    $P_0$ correspond à l'année $2015+0=2015$
    $p_n$ est le capital de l'année $2015+n$
    donc $P_0$ correspond à l'année $2015+0=2015$
  2. Montrer que la suite $(P_n)$ est géométrique et donner sa raison.
    En déduire l'expression de $P_n$ en fonction de $n$.

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    Chaque année, le capital est multiplié par $1+\dfrac{5}{100}$
    Chaque année, le prix augmente de $5$% donc est multiplié par
    $1+\dfrac{5}{100}=1,05$.
    On a donc $P_{n+1}=1,05P_n$

    donc $P_n=P_0q^n=200~000\times 1,05^n$
  3. En déduire le capital acquis en $2030$.
    $2030=2015+15$
    $2030=2015+15$ donc $n=15$ pour l'année 2030.
    $P_{15}=200~000\times 1,05^{15}\approx 415~786$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites arithmétiques et géométriques

- justifier qu'une suite est arithmétique
- calculer la raison d'une suite arithmétique
- somme des termes d'une suite arithmétique
- justifier qu'une suite est géométrique
- calculer la raison d'une suite géométrique
- somme des termes d'une suite géométrique


infos: | 15mn |

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