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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ réels.
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de $f$ et la droite $T$ est la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2.
  1. Déterminer graphiquement $f(0)$, $f(2)$ puis $f'(2)$

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Graphiquement, le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 est $f'(2)$
    Le point de coordonnées $(0;1)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f(0)=1$
    Le point de coordonnées $(2;3)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f(2)=3$
    $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite T passant par les points de coordonnées $(2;3)$ et $(1;-2)$
    donc $f'(2)=\dfrac{-2-3}{1-2}=5$
  2. Exprimer $f'(x)$ en fonction des réels $a$ et $b$.

    Dérivées usuelles


    On dérive selon la variable $x$, $a$ , $b$ et $c$ sont des constantes.
    $f'(x)=a\times 2x+b\times 1+0=2ax+b$
  3. En déduire la valeur des réels $a$ , $b$ et $c$
    On peut utiliser la question 1 et exprinmer $f(0)$, $f(2)$ et $f'(2)$ en fonction de $a$ , $b$ et $c$
    à savoir $f(0)=a\times 0^2+b\times 0+c=1$.....
    $f(0)=a\times 0^2+b\times 0+c=1 \Longleftrightarrow c=1$
    donc $f(x)=ax^2+bx+1$
    $f(2)=a\times 2^2+b\times 2+1=3 \Longleftrightarrow 4a+2b+1=3\Longleftrightarrow 4a+2b=2 \Longleftrightarrow 2a+b=1$
    $f'(2)=2a\times 2+b=5 \Longleftrightarrow 4a+b=5$
    Il faut donc résoudre le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} 2a+b=1 \\ 4a+b=5 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} 2a=4 \text{ L2-L1} \\ -b=3 \text{ L2-2L1} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=2 \\ b=-3 \end{cases}$


    On peut aussi résoudre le système par substitution en isolant par exemple $b$ dans la première équation et en le remplaçant par $1-2a$ dans la seconde équation soit $4a+1-2a=5$

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