On pose $u(x)=x-4$, $v(x)=\sqrt{x}$ et $w(x)=2x$ définies sur $[0;+\infty[$

$u$ (fonction affine) est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$ et $u'(x)=1$
$v$ (fonction racine carrée) est dérivable sur sur $]0;+\infty[$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
donc le produit de $u$ par $v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
$w$ (fonction linéaire) est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$ et $w'(x)=2$ donc $f$, somme de $uv$ et de $w$ est dérivable sur $]0;+\infty[$

$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+w'(x)$
$=\sqrt{x}+(x-4)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2$
$=\sqrt{x}+ \dfrac{x-4}{2\sqrt{x}}+2$
$=\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}+ \dfrac{x-4}{2\sqrt{x}}+\dfrac{4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
$=\dfrac{2x+x-4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
$=\dfrac{3x-4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
$f'(x)=\dfrac{3x-4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

On pose $X=\sqrt{x}$ et on a alors
$3x+4\sqrt{x}-4=3\sqrt{x}^2+4\sqrt{x}-4=3X^2+4X-4$
Recherche des racines de $X^2+4X-4$
$\Delta=16-4\times 3\times (-4)=64$

$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-8}{6}=-2$
et
$X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+8}{6}=\dfrac{2}{3}$

donc $3X^2+4X-4=3(X-(-2))(X-\dfrac{2}{3})=3(X+2)(X-\dfrac{2}{3})$
soit $3x+4\sqrt{x}-4=3(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-\dfrac{2}{3})$
Vérification en développant:
$3(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-\dfrac{2}{3})=3(x-\dfrac{2\sqrt{x}}{3}+2\sqrt{x}-\dfrac{4}{3})=3x+4\sqrt{x}-4$
$f'(x)=\dfrac{3x-4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
Le dénominateur $2\sqrt{x}$ est strictement positif
donc $f'(x)$ est du signe du numérateur $3x+4\sqrt{x}-4$
On a $3x+4\sqrt{x}-4=3(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-\dfrac{2}{3})$
$3(\sqrt{x}+2)>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $\sqrt{x}-\dfrac{2}{3}$
Sur $]0;+\infty[$:
$\sqrt{x}-\dfrac{2}{3}>0 $
$\Longleftrightarrow \sqrt{x}>\dfrac{2}{3}$
$\Longleftrightarrow x>\dfrac{4}{9}$
On a donc le tableau de variation de $f$ suivant:

avec $f(0)=0$
et $f(\frac{4}{9})=(\dfrac{4}{9}-4)\sqrt{\dfrac{4}{9}}+2\times \dfrac{4}{9}=\dfrac{-32}{9}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{-64}{27}+\dfrac{24}{27}=\dfrac{-40}{27}$