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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f(x)=x^4-x^3-5x^2-3$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Montrer que $f'(x)=x(4x^2-3x-10)$

    Dérivées usuelles


    Il faut dériver $x^4$, $x^3$ et $x^2$
    $f'(x)=4x^3-3x^2-5\times 2x-0=4x^3-3x^2-10x=x(4x^2-3x-10)$
  2. Dresser le tableau de variations de $f$.

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction


    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
    Il faut étudier le signe de x^2-x-$$ et utiliser un tableau signes pour le produit de $x$ par $4x^2-3x-10$
    -Recherche des racines de $4x^2-3x-10$
    $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 4\times (-10)=9+160=169$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3 + 13}{ 8 }=2$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 3- 13 }{8 }=\dfrac{-5}{4}$
    -Signe de $f'(x)$ et variations de $f$

    $f\left(\dfrac{-5}{4}\right)\approx -6,4$
    $f(0)=-3$ et $f(2)=-15$
  3. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=-10$
    Il faut utiliser le tableau de variations de $f$ et le valeurs obtenues pour $f(\left(\dfrac{-5}{4}\right)\approx -6,4$, $f(0)=-3$ et $f(2)=-15$
    Sur $]-\infty;0]$, le minimum de $f$ est $f(\left(\dfrac{-5}{4}\right)\approx -6,4$ donc l'équation $f(x)=-10$ n'a pas de solution.
    Sur $]0;2]$, $f$ est strictement décroissante et $f(2)=-15$ donc l'équation $f(x)=-10$ admet une solution.
    Sur $[2;+\infty[$, $f$ est strictement croissante avec $f(2)=-15$ et $f(3)=5$ (par exemple) donc l'équation $f(x)=-10$ admet une solution.

    Courbe donnée à titre indicatif:

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