MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Dérivation

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$

Calculer $f'(x)$

Rappel de cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$

Solution

On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
donc $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^2(x+4)-(x^3-2)\times 1}{(x+4)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^3+12x^2-x^3+2}{(x+4)^2}$
On pose $g$ définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$
Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$

Rappel de cours

Dérivées usuelles

Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

Aide

Pour déterminer les variations de $g$, il faut étudier le signe de $g'(x)$ (polynôme de degré 2)
Il faut donc chercher les racines de $g'(x)$ afin de dresser un tableau de signe de $g'(x)$

Solution

$g'(x)=2\times 3x^2+12\times 2x+0=6x^2+24x=6x(x+4)$
$6x(x+4)=0 \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=-4$
Les racines de $6x^2+24$ sont $x_1=0$ et $x_2=-4$
$6x^2+24x$ est du signe de $a=6$ coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines
donc $g'(x) >0 $ sur $]0;+\infty[$
On a donc

avec $g(0)=2\times 0^3+12\times 0^2+2=2$
Ne pas confondre $g(0)$ et $g'(0)$

Courbe représentative de la fonction $g$ donnée à titre indicatif.

On peut aussi tracer la courbe sur la calculatrice (MENU GRAPH) pour contrôler les résultats du tableau de variations
En déduire le signe de $g(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$

Aide

Pour déterminer le signe de $g(x)$, on peut utiliser les variations de $g$ et le fait que $g(1)=2$

Solution

$g(0)=2$ est le minimum de la fonction $g$ sur $]-4;+\infty[$
donc pour tout réel $x\in D_f$, on a: $g(x)\geq 2 > 0$

On a $f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$
donc $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+4)^2}$
$(x+4)^2 > 0$ sur $D_f$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$

On a donc :
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $-2$

Rappel de cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut calculer le coefficient directeur de cette tangente soit $f'(-2)$ puis les coordonnées du point de contact avec la courbe $(-2;f(-2))$

Solution

$f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$
$f'(-2)=\dfrac{2\times (-2)^3+12\times (-2)^2+2}{(-2+4)^2}$
$~~~~=\dfrac{34}{4}~$
$~~~~=\dfrac{17}{2}~$
$~~~~=8,5$
$f(-2)=\dfrac{(-2)^3-2}{-2+4}=\dfrac{-10}{2}=-5$
donc T a pour équation réduite:
$y=f'(-2)(x-(-2))+f(-2)$
$\phantom{y}=\dfrac{17}{2}(x+2)-5$
$\phantom{y}=\dfrac{17}{2}x+17-5$
$\phantom{y}=\dfrac{17}{2}x+12$
Tracer $C_f$ et T dans un repère orthogonal d'unités 2cm sur l'axe des abscisses et 2cm pou 5 unités sur l'axe des ordonnées.

Aide

Pour tracer la courbe, il faut dresser un tableau de valeur sur la calculatrice (MENU TABL) puis saisir la fonction $f$.
Penser à paramétrer le tableau de valeurs avec SET et choisir par exemple XSTART=-4, XEND=10 et PITCH=0,5
ne pas oublier d'écrire le numérateur et le dénominateur entre parenthèses.

Solution

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