Publications MATHS-LYCEE.FR
Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2$ et on note $\mathbb{P}$ la parabole représentant la fonction $f$.
Le point $Q$ a pour coordonnées $Q(1;-5)$.
On note $A(a;f(a))$ le point de la parabole $\mathbb{P}$ tel que la droite $(AQ)$ soit tangente à la parabole $\mathbb{P}$ au point A.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
Le point $Q$ a pour coordonnées $Q(1;-5)$.
On note $A(a;f(a))$ le point de la parabole $\mathbb{P}$ tel que la droite $(AQ)$ soit tangente à la parabole $\mathbb{P}$ au point A.
- Tracer la courbe (éventuellement avec GEOGEBRA) et conjecturer le nombre de valeurs possibles pour le réel $a$ et la valeur approchée (ou les valeurs approchées) de $a$
Avec GEOGEBRA:
Tracer la parabole d'équation $y=x^2-2$ puis placer le point Q de coordonnées $(1;-5)$
Placer le point A sur la parabole $\mathbb{P}$
Tracer la droite $(AQ)$
Déplacer le point A pour que (AQ) soit tangente à la parabole.
Conjecturer alors le nombre de valeurs possibles pour le réel $a$ abscisse du point A.
En déplaçant le point A, on constate qu'il y a deux possibilités pour le réel $a$.
On a alors $a\simeq -1$ et $a\simeq 3$
- Donner l'équation réduite de la tangente $T_a$ à la parabole $\mathbb{P}$ passant par $A(a;f(a))$
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Calculer $f'(x)$ puis $f'(a)$ en fonction de $a$
Déterminer l'équation réduite de la tangente à la parabole au point d'abscisse $a$
Le point Q appartient à cette tangente si ses coordonnées vérifient l'équation réduite de la tangente à la parabole au point d'abscisse $a$$f$ est une fonction polynôme de degré 2 donc dérivable sur $\mathbb{R}$
$f'(x)=2x$ donc $f'(a)=2a$
Le point A de la parabole a pour coordonnées $(a;f(a))$ avec $f(a)=a²-2$
L'équation réduite de la tangente $T_a$ à la parabole au point A est:
$y=f'(a)(x-a)+f(a)=2a(x-a)+a^2-2=2ax-2a^2+a^2-2=2ax-a^2-2$
- En déduire les valeurs de $a$ pour lesquelles la tangente à la parabole au point A passe par Q
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Un point appartient à une droite D si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite D donc il faut remplacer $x$ par $1$ et $y$ par $-5$ dans l'équation de la tangente$Q\in T_{a}$
$\Longleftrightarrow y_{Q}=2ax_{Q}-a^2-2$
$\Longleftrightarrow -5=2a-a^2-2$
$\Longleftrightarrow a^2-2a-3=0$
Il faut donc résoudre l'équation du second degré $a^2-2a-3=0$ d'inconnue $a$
$(-1)^2-2\times (-1)-3=1+2-3=0$
donc $a_{1}=-1$ est une racine de $a^2-2a-3$
Le produit des racines $a_{1}\times a_{2}=\dfrac{-3}{1}$
donc $-a_{2}=-3$ soit $a_{2}=3$
Ce résultat est cohérent avec la conjecture émise à la question 1 avec le logiciel GEOGEBRA
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
vidéos semblables
Pour compléter cet exercice, nous vous conseillons les vidéos suivantes semblables à l'exercice affiché.
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.