On pose $u(x)=x$ et $v(x)=x-1$
$u$ et $v$ sont deux fonctions affines donc dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur D et $v(x)\neq 0$ donc le quotient est de $u$ par $v$ est dérivable sur D
On a $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$=\dfrac{1(x-1)-x(1)}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
$f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$

Le coefficient directeur de (d) est $m$.
Si $m=0$, la droite (d) est parallèle à l'axe des ordonnées donc il n'y a aucune tangente parallèle à (d) dans ce cas.
Le coefficient directeur de la tangente $T_{x}$ à la courbe au point d'abscisse $x$ ($x\neq 1$) est $f'(x)$

Il faut résoudre l'équation $f'(x)=m$ Recherche des racines de $f'(x)$
Pour tout réel $x\neq 1$, on a:
$f'(x)=m$
$\Longleftrightarrow \dfrac{-1}{(x-1)^2}=m$
$\Longleftrightarrow -1=m(x-1)^2$
$\Longleftrightarrow -1=m(x²-2x+1)$
$\Longleftrightarrow mx^2-2mx+m+1=0$ (équation (1))
Le nombre de solutions de cette équation du second degré dépend du signe du discriminant $\Delta$
Ici on a $a=m$, $b=-2m$ et $c=m+1$ dans $ax^2+bx+c$
$\Delta=(-2m)^2-4\times m\times (m+1)=4m^2-4m^2-4m=-4m$

$\Delta >0 \Longleftrightarrow -4m>0 \Longleftrightarrow m<0$
Cas 1: $m<0$
L'équation (1) admet deux solutions donc il existe deux tangentes parallèles à (d)

Cas 2: $m>0$
L'équation (1) n'admet aucune solution donc il n'existe pas de tangente parallèle à (d)
Il existe deux tangentes parallèles à (d) si $m<0$