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Résoudre les équations suivantes sur $]-\pi;\pi]$ puis sur $[0;2\pi[$ et donner les mesures principales des solutions.
On pourra utiliser le cercle trigonométrique.
  1. $cos(x)=cos(\dfrac{\pi}{7})$
    il y a deux valeurs possibles donnant le même cosinus
    $cos(x)=cos(\dfrac{\pi}{7})$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{7}+k2\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{7}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Sur $]-\pi;\pi]$:

    Les mesures principales des solutions sont $\dfrac{\pi}{7}$ et $-\dfrac{\pi}{7}$

    Sur $[0;2\pi[$:

    $x_1=\dfrac{\pi}{7}$
    et $x_2=2\pi-\dfrac{\pi}{7}=\dfrac{14\pi}{7}-\dfrac{\pi}{7}=\dfrac{13\pi}{7}$
  2. $sin(x)=sin(\dfrac{\pi}{5})$

    Cosinus et sinus d'un nombre réel


    Soit $(O;I,J)$ un repère orthonormé et $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique. Soit $x$ un réel et $M$ le point correspondant sur le cercle.
    On appelle cosinus de $x$ et on note $cos(x)$ l'abscisse du point $M$.
    On appelle sinus de $x$ et on note $sin(x)$ l'ordonnée du point $M$.
    il y a deux points sur le cercle donnant le même sinus
    $sin(x)=sin(\dfrac{\pi}{5})$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{5}+k2\pi$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{5}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{5}+k2\pi$ ou $x=\dfrac{4\pi}{5}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    Les mesures principales des solutions sont $\dfrac{\pi}{5}$ et $\dfrac{4\pi}{5}$

    Sur $[0;2\pi[$, l'ensemble de solution est donc le même.
  3. $sin(x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    donc $sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
    $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    donc $sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

    On a donc $x_1=\dfrac{-\pi}{4}$
    et $x_2=-\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{-3\pi}{4}$

    Sur $[0;2\pi[$:

    On a donc $x_1=2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{8\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}$
    et $x_2=\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$

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