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  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ $x^2-(1+\sqrt{2})x+\sqrt{2}=0$
    On pourra vérifier que l'une des solutions est $x_1=1$

    Somme et produit des racines


    Si le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors on a:
    $ x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$ (somme des racines)
    et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ (produit des racines)
    $1^2-(1+\sqrt{2})\times 1+\sqrt{2}=1-1-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$
    donc $x_1=1$ est une solution.
    $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $1x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  2. En déduire les solutions de l'équation $cos^2(x)-(1+\sqrt{2})cos(x)+\sqrt{2}=0$ sur $]-\pi;\pi]$.
    Pour tout réel $x$, on pose $cos(x)=X$
    $cos^2(x)-(1+\sqrt{2})cos(x)+\sqrt{2}=0$
    On pose $X=cos(x)$ pour tout réel $x$
    Il faut donc résoudre l'équation $X^2-(1+\sqrt{2})X+\sqrt{2}=0$
    donc $X=1$ ou $X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Il faut donc résoudre $cos(x)=1$ et $cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi;\pi]$
    $cos(x)=1 \Longleftrightarrow x=0$ (voir figure)
    $cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{-\pi}{4}$ (voir figure)


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