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- Résoudre dans $\mathbb{R}$ $2x^2-(2+\sqrt{2})x+\sqrt{2}=0$
On pourra vérifier que l'une des solutions est $x_1=1$Somme et produit des racines
Si le polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$ alors on a:
$ x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}$ (somme des racines)
et $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ (produit des racines)$2\times 1^2-(2+\sqrt{2})\times 1+\sqrt{2}=2-2-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$
donc $x_1=1$ est une solution.
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $1x_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
- En déduire les solutions de l'équation $2cos^2(x)-(2+\sqrt{2})cos(x)+\sqrt{2}=0$ sur $]-\pi;\pi]$.
Pour tout réel $x$, on pose $cos(x)=X$$2cos^2(x)-(2+\sqrt{2})cos(x)+\sqrt{2}=0$
On pose $X=cos(x)$ pour tout réel $x$
Il faut donc résoudre l'équation $2X^2-(2+\sqrt{2})X+\sqrt{2}=0$
donc $X=1$ ou $X=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Il faut donc résoudre $cos(x)=1$ et $cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi;\pi]$
$cos(x)=1 \Longleftrightarrow x=0$ (voir figure)
$cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\dfrac{-\pi}{4}$ (voir figure)
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