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  1. Résoudre l'équation $cos(3x)=\dfrac{1}{2}$ dans $[0;2\pi[$

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    Déterminer les mesures principales $\alpha_1$ et $\alpha_2$ possibles pour $3x$
    Résoudre les équations $3x=\alpha_1+k2\pi$ et $3x=\alpha_2+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Déterminer les valeurs de $x$ appartenant à $[0;2\pi[$ pour les différentes valeurs de $k$ soit $k=0$, $k=1$, $k=-1$.....
    $cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$

    $cos(\dfrac{-\pi}{3})=cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$
    $cos(3x)=\dfrac{1}{2}$
    $\Longleftrightarrow 3x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ ou $3x=\dfrac{-\pi}{3}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
    $ \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}$ ou $x=\dfrac{-\pi}{9}+\dfrac{k2\pi}{3}$ avec $k \in \mathbb{Z}$

    Si $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{9}$ ou $x=\dfrac{-\pi}{9}$
    or $\dfrac{-\pi}{9}\notin [0;2\pi[$

    Si $k=1$: $x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{9}$
    ou $x=\dfrac{-\pi}{9}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{9}$


    Si $k=2$: $x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{13\pi}{9}$
    ou $x=\dfrac{-\pi}{9}+\dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{11\pi}{9}$

    Si $k=3$: $x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{19\pi}{9}$
    ou $x=\dfrac{-\pi}{9}+\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{17\pi}{9}$
    or $\dfrac{19\pi}{9} \notin [0;2\pi[$
    donc pour $k\geq 4$, $x\notin [0;2\pi[$

    Si $k=-1$: $x=\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-5\pi}{9}$
    ou $x=\dfrac{-\pi}{9}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-7\pi}{9}$
    or $\dfrac{-5\pi}{9} \notin [0;2\pi[$ et $\dfrac{-7\pi}{9} \notin [0;2\pi[$
    donc pour $k<0$, $x \notin [0;2\pi[$
  2. Résoudre $sin(2x)=0$ sur $[-2\pi;2\pi]$
    Chercher une mesure $\alpha$ telle que $sin(\alpha)=0$
    En déduire les valeurs possibles $\alpha_1$ et $\alpha_2$ pour lesquelles $sin(\alpha_1)=0$ et $sin(\alpha_2)=0$
    Résoudre les équations $2x=\alpha_1+k2\pi$ et $3x=\alpha_2+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Déterminer les valeurs de $x$ appartenant à $[-2\pi;2\pi]$ pour les différentes valeurs de $k$ soit $k=0$, $k=1$, $k=-1$.....

    $sin(0)=0$
    $sin(0)=sin(\pi)=0$
    $sin(2x)=0$
    $\Longleftrightarrow 2x=0+k2\pi$ ou $2x=\pi+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
    $\Longleftrightarrow x=\dfrac{k2\pi}{2}$ ou $ x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{k2\pi}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$

    Si $k=0$: $x=0$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}$

    Si $k=1$: $x=\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi=\dfrac{3\pi}{2}$

    Si $k=-1$: $x=-\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}-\pi=\dfrac{-\pi}{2}$

    Si $k=2$: $x=2\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{5\pi}{2}$
    $\dfrac{5\pi}{2}\notin [-2\pi;2\pi]$

    Si $k=-2$: $x=-2\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}-2\pi=\dfrac{-3\pi}{2}$

    Si $k=3$: $x=3\pi$ ou $x=\dfrac{\pi}{2}+3\pi=\dfrac{7\pi}{2}$
    or $3\pi \notin [-4\pi;4\pi]$ et $\dfrac{7\pi}{2} \pi \notin [-2\pi;2\pi]$
    donc pour $k\geq 3$, $x \notin [-2\pi;2\pi]$
    De même pour $k\leq -3$, $x \notin [-2\pi;2\pi]$
  3. Résoudre $cos(4x)=cos(\dfrac{\pi}{5})$ sur $[0;2\pi[$
    Pour tout réel $x$, $cos(x)=cos(\pi-x)$
    En déduire les valeurs possibles $\alpha_1$ et $\alpha_2$ pour lesquelles $cos(\alpha_1)=cos(\dfrac{\pi}{5}$ et $cos(\alpha_2)=cos(\dfrac{\pi}{5}$
    Résoudre les équations $4x=\alpha_1+k2\pi$ et $4x=\alpha_2+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Déterminer les valeurs de $x$ appartenant à $[0;2\pi[$ pour les différentes valeurs de $k$ soit $k=0$, $k=1$, $k=-1$.....
    $cos(4x)=cos(\dfrac{\pi}{5}$
    $\Longleftrightarrow 4x=\dfrac{\pi}{5}+k2\pi$ ou $4x=-\dfrac{\pi}{5}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$
    $ \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{k2\pi}{4}$ ou $x=-\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{k2\pi}{4}$ avec $k \in \mathbb{Z}$
    $ \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{k\pi}{2}$ ou $x=-\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{k\pi}{2}$ avec $k \in \mathbb{Z}$

    Si $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{20}$ ou $x=\dfrac{-\pi}{20}$

    Si $k=1$: $x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{11\pi}{20}$
    et $x=\dfrac{-\pi}{20}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{9\pi}{20}$

    Si $k=2$: $x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{21\pi}{20}$
    et $x=\dfrac{-\pi}{20}+\dfrac{2\pi}{2}=\dfrac{19\pi}{20}$

    Si $k=3$: $x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{31\pi}{20}$
    et $x=\dfrac{-\pi}{20}+\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{29\pi}{20}$

    Si $k=4$: $x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{4\pi}{2}=\dfrac{41\pi}{20}$
    et $x=\dfrac{-\pi}{20}+\dfrac{4\pi}{2}=\dfrac{39\pi}{20}$
    or $\dfrac{41\pi}{20} \notin [0;2\pi[$
    Si $k\geq 5$ ou $k\leq -1$, on a $x\notin [0;2\pi[$

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