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Le point $A$ est un point du cercle trigonométrique associé au réel $\dfrac{\pi}{4}$ et $H$ est le pied la hauteur issue de A dans le triangle $IOA$.(voir figure)
  1. Calculer les coordonnées du point $A$ puis la distance $IA$.

    Trigonométrie dans le triangle rectangle


    $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

    $cos(\widehat{ACB})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
    $sin(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
    $tan(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

    Distance dans un repère


    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    On a $( \overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OA})=\dfrac{\pi}{4}$
    donc $x_A=cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    et $y_A=sin(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

    Le repère $(O; \overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OJ})$ est orthonormé.
    $IA=\sqrt{(x_A-x_I)^2+(y_A-y_I)^2}$
    $\phantom{IA}=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-1 \right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-0 \right)^2}$
    $\phantom{IA}=\sqrt{\dfrac{2}{4}-2\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1+\dfrac{2}{4}}$
    $\phantom{IA}=\sqrt{\dfrac{1}{2}-\sqrt{2}+1+\dfrac{1}{2}}$
    $\phantom{IA}=\sqrt{2-\sqrt{2}}$
  2. Déterminer les coordonnées de $H$ et en déduire la valeur exacte de $cos(\dfrac{\pi}{8})$ et de $sin(\dfrac{\pi}{8})$
    Le triangle OIA est isocèle en O donc la hauteur issue de O est confondue avec la bissectrice de l'angle $\widehat{IOA}$
    Le triangle IOH est un triangle rectangle en H.
    Le triangle $OIA$ est isocèle en $O$ donc la hauteur issue de $O$ est confondue avec la bissectrice de l'angle $\widehat{IOA}$
    donc $( \overrightarrow{OI}; \overrightarrow{OH})=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{\pi}{8}$
    Le triangle OHI est un triangle rectangle en H et on a $OI=1$
    On a donc dans ce triangle(voir figure ci-dessous):
    $cos(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{OH}{OI}=OH$
    et $sin(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{IH}{OI}=IH$

    Le triangle OIA est isocèle en O donc la hauteur issue de O est confondue avec la médiane issue de O et donc H est le milieu de [IA].
    $IH=\dfrac{IA}{2}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
    et dans le triangle OIH rectangle en H, on a:
    $IH^2+OH^2=OI^2$
    $\Longleftrightarrow OH^2=1-IH^2$ (car $OI=1$)
    donc $OH^2=1-\left( \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^2=1-\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{4-2+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$

    Il y a le signe $-$ devant la barre de fraction soit $-\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}=\dfrac{-2+\sqrt{2}}{4}$
    donc $OH=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$


    Vérifier les valeurs obtenues à la calculatrice. (attention au réglage des unités pour les angles)
  3. En déduire $cos(\dfrac{3\pi}{8})$

    Angles associés


    $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{8}$
    $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{8}$
    $cos(\dfrac{3\pi}{8})=cos(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8})=sin(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$


    Penser à contrôler le résultat obtenu avec la calculatrice en calculant $cos(\dfrac{\pi}{8})$ et $\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

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