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$ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs tels que $|| \overrightarrow{u}||=3$ et $|| \overrightarrow{v}||=5$ et $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=6$
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- Calculer $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2$
Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$Carré scalaire
$\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$développer $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$$( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2$
$=( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$
$= \overrightarrow{u}^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}^2$
$=|| \overrightarrow{u}||^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+|| \overrightarrow{v}||^2$
$=3^2+2\times 6+5^2$
$=9+12+25$
$=46$
- Calculer $ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v})$
Développer l'expression et utiliser les données de l'énoncé$ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v})$
$= \overrightarrow{u}. \overrightarrow{u}- \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$
$=|| \overrightarrow{u}||^2- \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$
$=3^2-6$
$=3$
- Calculer $(2 \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}).3 \overrightarrow{v}$
Développer l'expression et utiliser les données de l'énoncé$(2 \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}).3 \overrightarrow{v}$
$=2 \overrightarrow{u}.(3 \overrightarrow{v})- \overrightarrow{v}.(3 \overrightarrow{v})$
$=(2\times 3) \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-3 \overrightarrow{v}. \overrightarrow{v}$
$=6 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-3 \overrightarrow{v}^2$
$=6 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-3|| \overrightarrow{v}||^2$
$=6\times 6-3\times 5^2$
$=-39$
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