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On donne un repère orthonormé, on donne $A(2;-1)$, $B(3;5)$, $C(4;-4)$ et $D(-1;-3)$.
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- Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires?
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$Il faut calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-2=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=5-(-1)=6 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{AB}(1;6)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{CD}}=x_D-x_C=-1-4=-5\\ y_{\overrightarrow{CD}}=y_D-y_C=-3-(-4)=1 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{CD}(-5;1)$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{CD}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{CD}}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}=1\times (-5)+6\times 1$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}=-5+6$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}=1$
donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\neq 0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas orthogonaux
- On donne $E(-1;y)$, calculer $y$ pour que les droites $(AB)$ et $(CE)$ soient perpendiculaires.
Il faut que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CE}=0$$\overrightarrow{AB}(1;6)$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{CE}}=x_E-x_C=-1-4=-5\\ y_{\overrightarrow{CE}}=y_E-y_C=y-(-4)=y+4 \end{cases}$ donc $\overrightarrow{CE}(-5;y+4)$
$(AB)$ et $(CE)$ sont perpendiculaires si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont orthogonaux
donc on veut $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CE}=0$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CE}=0 \Longleftrightarrow 1\times (-5)+6(y+4)=0$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CE}=0} \Longleftrightarrow -5+6y+24=0$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0} \Longleftrightarrow 6y=-19$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=0} \Longleftrightarrow y=\dfrac{-19}{6}$
Contrôle graphique du résultat
$y_E=\dfrac{-19}{6}\approx -3,2$
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