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- $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=5$cm et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$
Calculer $BC$Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$Produit scalaire avec les normes
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et l'angle $\widehat{BAC}$
Utiliser le rappel de cours ci dessus en calculant $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ puis écrire une équation d'inconnue $BC^2$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=6\times 5 \times cos(\dfrac{\pi}{6})$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=30 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=15\sqrt{3}$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{6^2+5^2-BC^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{61-BC^2}{2}$
Il faut donc résoudre l'équation $\dfrac{61-BC^2}{2}=15\sqrt{3}$
$\phantom{\Longleftrightarrow}\dfrac{61-BC^2}{2}=15\sqrt{3}$
$\Longleftrightarrow 61-BC^2=2\times 15\sqrt{3}$
$\Longleftrightarrow -BC^2=30\sqrt{3}-61$
$\Longleftrightarrow BC^2=-30\sqrt{3}+61$
$BC$ est une longueur donc $BC=\sqrt{61-30\sqrt{3}}$
- $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=2\sqrt{13}$cm et $\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{3}$
Calculer $BC$Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.L'angle donné est l'angle de sommet $B$ donc il faut utiliser le produit scalaire des vecteurs $ \overrightarrow{BA}$ et $ \overrightarrow{BC}$
Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et l'angle $\widehat{ABC}$
Exprimer ensuite $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ en fonction des distances $AB$, $AC$ et $BC$ puis écrire une équation d'inconnue $BC^2$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$figure
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA\times BC\times cos( \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$
$\phantom{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=6\times BC \times cos(\dfrac{\pi}{3})$
$\phantom{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=6 \times BC\times \dfrac{1}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=3BC$
$ \overrightarrow{BA}- \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{BA^2+BC^2-CA^2}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}=\dfrac{6^2+BC^2-4\times 13}{2}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{-16+BC^2}{2}$
Il faut donc résoudre l'équation $\dfrac{-16+BC^2}{2}=3BC$
$\phantom{\Longleftrightarrow} -16+BC^2=6BC$
$\Longleftrightarrow BC^2-6BC-16=0$
Recherche des racines du polynôme $x^2-6x-16$:
$\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 1\times (-16)=100$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines: $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-10}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+10}{2}=8$
$BC$ est une longueur donc $BC\geq 0$
donc $ BC=x_2=8$cm
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.Calculs de longueurs et d'angles dans un triangle
- calcul d'une longueur
- calcul d'un angle
infos: | 10-15mn |exercices semblables
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