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Plus d'infos
  1. spécialité maths première
  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº890

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$ABCD$ est un carré et $E$ est défini par la relation $ \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}$ et $F$ est le milieu de $[BC]$.
Le point $G$ est tel que $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}-\dfrac{7}{4} \overrightarrow{AD}$ et $H$ est le milieu de $[AD]$.
  1. Faire une figure
  2. Exprimer $ \overrightarrow{HG}$ en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{BC}$

    Aide

    Décomposer $ \overrightarrow{HG}$ en $ \overrightarrow{HA}+ \overrightarrow{AG}$

    Solution

    $H$ milieu de $[AD]$ donc $ \overrightarrow{AH}= \overrightarrow{HD}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AD}$
    et $ABCD$ carré donc $ \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}$
    $ \overrightarrow{HG}= \overrightarrow{HA}+ \overrightarrow{AG}$
    $\phantom{ \overrightarrow{HG}}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}-\dfrac{7}{4} \overrightarrow{AD}$
    $\phantom{ \overrightarrow{HG}}=-\dfrac{9}{4} \overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}$
    $\phantom{ \overrightarrow{HG}}=-\dfrac{9}{4} \overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}$
  3. Exprimer $ \overrightarrow{EF}$ en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{BC}$

    Aide

    $F$ milieu de $[BC]$ donc $ \overrightarrow{BF}= \overrightarrow{FC}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$

    Solution

    $F$ milieu de $[BC]$ donc $ \overrightarrow{BF}= \overrightarrow{FC}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AB}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{BE}=\dfrac{-3}{4} \overrightarrow{AB}$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{EB}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}$

    $ \overrightarrow{EF}= \overrightarrow{EB}+ \overrightarrow{BF }=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}$
  4. En déduire que les droites $(HG)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.

    Rappel de cours

    Propriétés du produit scalaire

    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

    Orthogonalité

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Aide

    Utiliser les deux décompositions obtenues aux questions 2. et 3.
    Calculer $ \overrightarrow{EF}. \overrightarrow{HG}$ et vérifier que ce produit scalaire est nul.

    Solution

    figure

    $ \overrightarrow{EF}. \overrightarrow{HG}=(\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}).(-\dfrac{9}{4} \overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB})$
    $\phantom{ \overrightarrow{EF}. \overrightarrow{HG}}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}.(-\dfrac{9}{4} \overrightarrow{BC})+\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}.(\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB})+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}.(-\dfrac{9}{4} \overrightarrow{BC})+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{BC}.(\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB})$
    $\phantom{ \overrightarrow{EF}. \overrightarrow{HG}}=\dfrac{-27}{16} \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}+\dfrac{9}{8} \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB})+\dfrac{-9}{8} \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{4} \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{AB}$
    $ABCD$ est un carré donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{BC}=0$, $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AB}^2=AB^2$ et $ \overrightarrow{BC}. \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{BC}^2=BC^2$
    donc on a:
    $ \overrightarrow{EF}. \overrightarrow{HG}=\dfrac{9}{8}AB^2+\dfrac{-9}{8}BC^2=0$ car $AB=BC$
    donc $ \overrightarrow{EF}$ et $ \overrightarrow{HG}$ sont orthogonaux

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