MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Droites et Cercles

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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, donner dans chaque cas les coordonnées d'un vecteur directeur de $(d)$ puis tracer la droite $(d)$. Déterminer ensuite si le point $A(3;5)$ appartient à $(d)$.

$(d)$ a pour équation $3x-2y+1=0$

Rappel de cours

Vecteur directeur d'une droite
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$ si il existe deux points $A$ et $B$ de $(d)$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$

Un vecteur directeur de $(d)$ indique la direction de la droite $(d)$.
Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$, tout vecteur colinéaire à $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Aide

Pour tracer la droite (d), il faut déterminer les coordonnées de deux points de (d) ou bien de un point de (d) et d'un vecteur directeur

Solution

Ici, $a=3$ et $b=-2$
$\overrightarrow{u}(2;3)$ est un vecteur directeur de (d).
Si $x=0$, on a $3\times 0-2y+1=0\Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{2}$

$3x_A-2y_A+1=3\times 3-2\times 5+1=9-10+1=0$
donc $A\in(d)$
(d) a pour équation $2x-7=0$

Aide

Le coefficient $b$ est nul. On a en effet $2x+0y-7=0$

Solution

Ici, $a=2$ et $b=0$
$\overrightarrow{u}(0;2)$ est un vecteur directeur de (d).
$2x-7=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{7}{2}$

$2x_A-7=2\times 3-7=6-7=-1$
donc $A\notin(d)$

Le coefficient de $y$ est nul ($b=0$) et $\overrightarrow{u}(0;2)$ donc la droite (d) est parallèle à l'axe des ordonnées et admet un équation de la forme $x=constante$
(d) a pour équation $-3x+y-2=0$

Solution

Ici, $a=-3$ et $b=1$
$\overrightarrow{u}(-1;-3)$ est un vecteur directeur de (d).
Si $x=0$, on a $-3\times 0+y-2=0 \Longleftrightarrow y=2$

$-3x_A+y_A-2=-3\times 3+5-2=-6$
donc $A\notin (d)$