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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
$\mathcal{E}$ est l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-6x+y^2+4x+m=0$.
  1. Montrer que $M\in \mathcal{E} \Longleftrightarrow (x-3)^2+(y+2)^2=13-m$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    $(x-3)^2=x^2-6x+9$ et $(y+2)^2=y^2+4y+4$
    $(x-3)^2+(y+2)^2=13-m\Longleftrightarrow x^2-6x+9+y^2+4y+4+m-13=0 \Longleftrightarrow x^2-6x+y^2+4y+m=0$
  2. En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles $\mathcal{E}$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

    Équation d'un cercle


    Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
    $r^2$ est strictement positif
    $\mathcal{E}$ est un cercle de centre $C(3;-2)$ et de rayon $r=\sqrt{13-m}$ si on a $13-m>0$
    soit $m< 13$
  3. De même, déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles l'ensemble des points $M(x;y)$ dont les coordonnées vérifient l'égalité $x^2+8x+y^2-2my+25=0$
    On a $x^2+8x=(x+4)^2-16$ et $y^2-2my=(y-m)^2-m^2$
    On a $(x+4)^2=x^2+8x+16$ donc $x^2+8x=(x+4)^2-16$
    et $(y-m)^2=y^2-2my+m^2$ donc $y^2-2my=(y-m)^2-m^2$
    $x^2+8x+y^2-2my+25=0 \Longleftrightarrow (x+4)^2-16+(y-m)^2-m^2+25=0$
    $\phantom{x^2+8x+y^2-2my+25=0} \Longleftrightarrow (x+4)^2+(y-m)^2-m^2+9=0$
    $\phantom{x^2+8x+y^2-2my-9=0} \Longleftrightarrow (x+4)^2+(y-m)^2=m^2-9$
    Il faut donc avoir $m^2-9>0$ pour que $\mathcal{E}$ définisse un cercle
    $m^2-9=0\Longleftrightarrow (m-3)(m+3)=0 \Longleftrightarrow m=3$ ou $m=-3$
    Signe de $m^2-9$


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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équation d'un cercle

- déterminer une équation de cercle
- déterminer le centre et le rayon connaissant une équation du cercle


infos: | mn |

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