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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(ax+b)e^{0,5x}$ avec $a$ et $b$ réels.
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- Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{0,5x}$On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{0,5x}$
et on a $u'(x)=a$ et $v'(x)=0,5e^{0,5x}$
$f'(x)=u(x)v'(x)+u'(x)v(x)$
$\phantom{f'(x)}=ae^{0,5x}+(ax+b)0,5e^{0,5x}$
$\phantom{f'(x)}=ae^{0,5x}+0,5axe^{0,5x}+0,5be^{0,5x}$
$\phantom{f'(x)}=e^{0,5x}(a+0,5ax+0,5b)$
- La représentation graphique de $f$ est donnée ci-dessous et $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $0$.
Déterminer graphiquement $f(0)$ et $f'(0)$.Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $T$$f(0)=y_A=3$
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe au point $A$ d'abscisse $0$.
Cette tangente passe par $A(0;3)$ et $B(-4;1)$.
donc $f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2}{-4}=0,5$
- En utilisant les questions précédentes, déterminer $a$ et $b$.
On peut écrire deux équations d'inconnues $a$ et $b$ en utilisant $f(0)=3$ et $f'(0)=5$$f(0)=(a\times 0+b)e^{0,5\times 0}=b$ car $e^0=1$
$f(0)=3\Longleftrightarrow b=3$
donc $f(x)=(ax+3)e^{0,5x}$
$f'(x)=e^{0,5x}(a+0,5ax+0,5b)$ donc $f'(0)=e^0(a+0,5a\times 0+1,5)=a+1,5$
$f'(0)=0,5\Longleftrightarrow a+1,5=0,5 \Longleftrightarrow a=-1$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs de dérivées avec exponentielle
- rappels de cours
- dérivées avec $exp(x)$
- dérivées avec $exp(kx)$
infos: | mn |
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