Exercice 1 (6 points)
On donne ci-dessous la représentation graphique notée $C_f$ de la fonction $f$.

A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes:
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ que l'on notera $D_f$.

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
    Les abscisses des points de la courbe varient de $-8$ à 7
  2. Déterminer le maximum et le minimum de $f$.

    Extremums d'une fonction: maximum et minimum


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$.
    Le maximum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $M$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\leq M$
    Le minimum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $m$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\geq m$
    $f$ admet un extremum sur I si $f$ admet un maximum ou un minimum sur I.

    Le maximum ou le minimum se lit sur l'axe des ordonnées sur le graphique.
    Maximum et minimum

  3. Déterminer l'image de 4 par $f$.

    Image par une fonction


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
    Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
    Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
    A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.
    Il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse 4
    Sur le graphique, le point de la courbe d'abscisse 4 a pour ordonnée $1,5$
  4. $3$ est-il un antécédent de $-8$ par $f$?

    Antécédents par une fonction


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
    Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
    Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
    Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$
    Il faut déterminer si $f(3)=-8$
    Si $3$ est un antécédent de $-8$ par $f$ alors $f(3)=-8$.
    L'image de $3$ par $f$ est comprise entre 1 et 2
  5. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$.

    Antécédents par une fonction


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
    Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
    Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
    Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée 0, c'est à dire situés sur l'axe des abcsisses
    Il y a 3 points de la courbe ayant pour ordonnée $0$

  6. Résoudre l'équation $f(x)=\dfrac{3}{2}$.
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $\dfrac{3}{2}=1,5$ (antécédents de $1,5$ par $f$)
    Les solutions de l'équation $f(x)=\dfrac{3}{2}$ sont les abscisses (en bleu) des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=\dfrac{3}{2}$(en rouge sur le graphique)

    $f(x)=\dfrac{3}{2}$ pour $x=-8$, $x=0$ et $x=4$.
  7. Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.
    Il faut chercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à 0.
    Les solutions de l'inéquation $f(x) > 0$ sont les abscisses(en bleu) des points de la courbe $C_f$ (en pointillés rouges sur le graphique) situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

    donc $f(x) >0$ pour $x\in [-8;-7[$ ou pour $x\in ]-3;6[$ (en bleu sur l'axe des abscisses)
Exercice 2 (4 points)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+3x+1$.
  1. Calculer l'image de 3 par $f$ puis de $-2$ par $f$.
    Il faut remplacer $x$ par 3 puis par $-2$ dans l'expression de $f$.
    Il faut calculer $f(3)$.
    $f(3)=-2\times 3^2+3\times 3+1$.
    $\phantom{f(3)}=-2\times 9+9+1$.
    $\phantom{f(3)}=-18+10$.
    $\phantom{f(3)}=-8$.

    $f(-2)=-2\times (-2)^2+3\times (-2)+1$.
    $\phantom{f(-2)}=-2\times 4-6+1$.
    $\phantom{f(-2)}=-12-5$.
    $\phantom{f(-2)}=-17$.
  2. Le point de coordonnées $(1;-1)$ appartient-il à la courbe représentative de $f$.
    Le point de coordonnées $(1;-1)$ appartient à la courbe si l'image de 1 par $f$ est $-1$.
    $f(1)=-2\times 1^2+3\times 1+1$.
    $\phantom{f(1)}=-2+3+1$.
    $\phantom{f(1)}=2$.

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

- résoudre une équation de la forme f(x)=k avec la courbe de la fonction
- résoudre une inéquation avec la courbe de la fonction


infos: | 10-15mn |

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