Exercice 1 (3 points)
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
  1. $f(x)=\dfrac{3}{3x-2}$
    cours

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
aide Il faut que le dénominateur soit différent de zéro.

Solution

Il faut que $3x-2$ soit différent de 0.
$3x-2=0 \Longleftrightarrow 3x=2$
$\phantom{3x-2=0} \Longleftrightarrow x=\dfrac{2}{3}$
donc $f$ est définie pour tout réel $x$ différent de $\dfrac{2}{3}$



$D_f$ se lit "tous les réels sauf $\dfrac{2}{3}$".
  • $g(x)=\sqrt{6-2x}$
    aide On ne peut calculer une racine carrée qu'avec des nombres supérieurs ou égaux à 0
    Il faut que $6-2x$ soit supérieur ou égal à 0.
    Il faut $6-2x \geq 0$
    $6-2x \geq 0 \Longleftrightarrow 6\geq 2x$
    $\phantom{6-2x \geq 0} \Longleftrightarrow \dfrac{6}{2} \geq x$
    $\phantom{6-2x \geq 0} \Longleftrightarrow 3 \geq x$
    donc $g$ est définie pour tout réel $x$ inférieur ou égal à 3.

  • $h(x)=\dfrac{2}{x}+\sqrt{x}$
    aide Il y a deux conditions à respecter pour chacun des deux termes de la somme.
    Pour que $\dfrac{2}{x}$ soit défini, il faut $x\neq 0$.
    Pour que $\sqrt{x}$ soit défini, il faut $x\geq 0$.
    donc pour que $h$ soit définie, il faut $x\neq 0$ et $x \geq 0$
    soit $x > 0$


  • Exercice 2 (5 points)
    Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2+5$.
    1. Quelle est l'image de 3 par $f$ ?
      cours

      Calcul d'une image


      Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
      Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
      $f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
      $\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
      $\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
      $\phantom{f(-2)}=-19$
      Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
      aide Il faut remplacer $x$ par 3 dans l'expression de $f$.
      On veut calculer $f(3)$.
      $f(3)=2\times 3^2+5=2\times 9+5=23$
    2. Quelle est l'image de $-2$ par $f$ ?
      aide Il faut remplacer $x$ par $-2$ dans l'expression de $f$.
      On veut calculer $f(-2)$.
      $f(-2)=2\times (-2)^2+5=2\times 4+5=13$


      aux calculs avec le signe $-$, il ne faut pas oublier les parenthèses car $-2^2=-4$ mais $(-2)^2=4$
    3. Déterminer le ou les antécédents de 5 par $f$.
      cours

      Calcul d'un (des) antécédent(s)


      Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
      Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.
      aide Il faut déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=5$
      On veut résoudre l'équation $f(x)=5$.
      $f(x)=5 \Longleftrightarrow 2x^2+5=5$
      $\phantom{f(x)=5} \Longleftrightarrow 2x^2=0$
      $\phantom{f(x)=5} \Longleftrightarrow x^2=0$
      $\phantom{f(x)=5} \Longleftrightarrow x=0$
    4. Déterminer le ou les antécédents de $-3$ par $f$.
      aide Il faut déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)=-3$
      On veut résoudre l'équation $f(x)=-3$.
      $f(x)=-3 \Longleftrightarrow 2x^2+5=-3$
      $\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow 2x^2=-8$
      $\phantom{f(x)=-3} \Longleftrightarrow x^2=-4$
      Cette équation n'a pas de solution car $x^2$ est toujours positif.


      $f(x)=2x^2+5$ or $2x^2 \geq 0$ donc $2x^2+5 >0$ et donc $f(x)$ ne peut-être négatif.

    Exercice 3 (6 points)
    On donne ci-dessous les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$.

    Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par la figure.
    1. Déterminer les ensembles de définition $D_f$ et $D_g$ de $f$ et $g$.
      Pour la courbe $C_f$, les valeurs de $x$ varient de $-4$ à 11 il n'y a aucun point d'abscisse $6$.


      On peut aussi noter $D_f=[-4;11]\setminus \{6\}$ (se lit "intervalle $-4$, 11 privé de 6")
      Pour la courbe $C_g$, $x$ varie de $-4$ à 11
    2. Déterminer l'image de 2 par $f$ puis par $g$.
      aide Il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2 dans chacun des cas.
      On veut déterminer graphiquement $f(2)$ donc l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2.

      sur l'axe des ordonnées, il y a deux carreaux pour une unité.
    3. Déterminer les antécédents de $1$ par $f$ (justifier la réponse par une phrase).
      aide Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est 1.
      On cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est 1.

      Les solutions de l'équation $f(x)=1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la droite d'équation $y=1$ (droite parallèle à l'axe des abscisses en bleu sur le graphique)
      La courbe $C_f$ et la droite d'équation $y=1$ se coupent aux points d'abscisses $x=-1$, $x=5$ et $x=8$
    4. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\geq 2$.
      aide Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure ou égale à 2.
      On cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est supérieure ou égale à 2.

      Les solutions de l'équation $f(x)\geq 2$ sont les abscisses des points de la courbe (en pointillés bleus sur le graphique) $C_f$ situés au-dessus de la droite d'équation $y=2$ (droite parallèle à l'axe des abscisses en bleu sur le graphique)
      donc $f(x)\geq 2$ pour $x\in [0;4]$ et pour $x=11$ (zone en vert sur l'axe des abscisses)


      $S$ se lit "intervalle 0, 4 fermé union 2".
    5. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)= g(x)$.
      aide On cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$ ayant la même ordonnée que les points de la courbe $C_g$.
      Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_g$ et de la courbe $C_f$.

    6. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > g(x)$.
      aide Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est strictement supérieure aux ordonnées des points de $C_g$.
      Les solutions de l'équation $f(x) > g(x)$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ (en pointillés bleus sur le graphique) $C_f$ situés strictement au-dessus de la courbe $C_g$

      donc $f(x)>g(x)$ pour $x\in ]-1;5,5[$ et pour $x\in ]8;11]$ (zone en vert sur l'axe des abscisses)


      $S$ se lit "intervalle 0, 4 fermé union 2".
    7. Dresser le tableau de signe de $g(x)$.
      aide $g(x)>0$ quand la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses
      $g(x)$ est positif quand la courbe $C_g$ est au-dessus de l'axe des abscisses.

    Exercice 4 (6 points)
    Soit $f$ la fonction définie sur $[-7;3[\cup ]3;9]$dont on donne la représentation graphique ci-dessous.
    1. Dresser le tableau de variation de $f$.
      cours

      Tableau de variation


      $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
      Le tableau de variation de $f$ permet de visualiser les variations de $f$ ainsi que ses extremums (maximum ou minimum).
      aide Il faut placer les valeurs données dans l'ensemble de définition $x=-7$, $x=3$ et $x=9$ puis les valeurs de $x$ pour lesquelles le sens de variation change.
      $f$ est croissante sur $[-7;-3]$.
      On a donc:

      il y a une valeur interdite donc une double barre dans le tableau de variation.
    2. Déterminer en fonction des valeurs prises par le réel $k$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)=k$.
      aide Il faut distinguer plusieurs cas possibles pour déterminer le nombre de points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=k$ (droite parallèle à l'axe des abscisses passant par l'ordonnée $k$).
      Premier cas: $k > 2$.

      L'équation $f(x)=k$ admet dans ce cas une seule solution.

      Deuxième cas: $k=2$.

      L'équation $f(x)=k$ admet dans ce cas deux solutions.

      troisième cas: $-1\leq x < 2$.



      L'équation $f(x)=k$ admet dans ce cas trois solutions.

      quatrième cas: $k <-1$.


      L'équation $f(x)=k$ admet dans ce cas deux solutions.

    Fiche méthode


    Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

    Résolution graphique d'équations et d'inéquations

    - résoudre une équation de la forme f(x)=k avec la courbe de la fonction
    - résoudre une inéquation avec la courbe de la fonction


    infos: | 10-15mn |

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