Exercice 1 (5 points)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^2-4x+4$.
- Calculer $f(3)$.
- Calculer l'image de $-2$ par $f$.
Calcul d'une image
Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
$f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
$\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-19$
Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
On remplace $x$ par $-2$
$-2^2\neq (-2)^2$$f(-2)=4\times (-2)^2-4\times (-2)+4=4\times 4+8+4=28$
Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1) - Calculer $f(1-\sqrt{3})$
Il faut utiliser une identité remarquable pour développer $(1-\sqrt{3})^2$$f(1-\sqrt{3})=4\times (1-\sqrt{3})^2-4\times (1-\sqrt{3})+4$
$\phantom{f(1-\sqrt{3})}=4\times (1-2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2)-4+4\sqrt{3}+4$
$\phantom{f(1-\sqrt{3})}=4-8\sqrt{3}+12-4+4\sqrt{3}+4$
$\phantom{f(1-\sqrt{3})}=16-4\sqrt{3}$
Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1) - Déterminer les éventuels antécédents de 4 par $f$.
Calcul d'un (des) antécédent(s)
Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.Il faut résoudre l'équation $f(x)=4$Il faut résoudre l'équation $f(x)=4$
$f(x)=4 \Longleftrightarrow 4x^2-4x+4=4$
$\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow 4x^2-4x=0$
$\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x^2-x=0$
$\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x(x-1)=0$
$\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x-1=0$
$\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=1$
Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1) en calculant $f(0)$ et $f(1)$ - Déterminer les éventuels antécédents de 3 par $f$.
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
Il faut écrire que $4x^2-4x=(2x-1)^2-1$Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
$f(x)=3 \Longleftrightarrow 4x^2-4x+4=3$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 4x^2-4x+1=0$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow (2x-1)^2=0$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 2x-1=0$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1) en calculant $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
Exercice 2 (8 points)
On donne ci-dessous les représentations graphiques $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-6;8]$.
- Déterminer $f(-5)$, $f(0)$ et $g(8)$.
Image par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.Pour $f(-5)$, on cherche l'ordonnée du point de $C_f$ d'abscisse $-5$.Il faut chercher les images de $-5$ et 0 par $f$ et de 8 par $g$.
- Déterminer les antécédents de $-1$ par $f$.
Antécédents par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
$a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est $-1$Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=-1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la droite d'équation $y=-1$
On a donc $f(0)=-1$. - Déterminer les antécédents de $1$ par $g$.
- En expliquant la méthode, résoudre l'équation $f(x)=0$
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est 0.
Les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle.Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la droite d'équation $y=0$, c'est à dire avec l'axe des abscisses
Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont $x=-1$ et $x=2$.
On a donc $f(-1)=0$ et $f(2)=0$. - Résoudre l'équation $g(x)=3$
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_g$ dont l'ordonnée est 3.Graphiquement, les solutions de l'équation $g(x)=3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_g$ et de la droite d'équation $y=3$, c'est à dire avec l'axe des abscisses
Les solutions de l'équation $g(x)=3$ sont $x=-6$, $x=0$ et $x=7$.
On a donc $g(-6)=3$, $g(0)=3$ et $g(7)=3$. - Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$
Il faut déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la courbe $C_g$.Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la courbe $C_g$.
Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont $x=-3$, $x=3$ et $x=7$.
On a donc $f(-3)=g(-3)=5$, $f(3)=g(3)=1$ et $f(7)=g(7)=3$. - Résoudre l'équation $f(x)> 3$
Il faut déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est strictement supérieure à 3.Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)>3$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est strictement supérieure (points de la courbe situés strictement au-dessus de la droite d'équation $y=3$)
$f(x)> 3$ (zone rouge de la courbe) pour $x\in [-6;-2[\cup ]7;8]$ (zone verte de l'axe des abscisses)
- Résoudre l'équation $f(x)\leq g(x)$
Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ situés en-dessous de la courbe $C_g$.Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)\leq g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ situés en-dessous de la courbe $C_g$.
$f(x)\leq g(x)$ pour $x\in [-3;3]\cup [7;8]$
Exercice 3 (7 points)
La fonction $g$ est définie sur $D_f$ par $g(x)=\dfrac{2x-1}{3x+1}$
- Déterminer $D_f$.
Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.Il faut que le dénominateur soit différent de 0.Il faut $3x+1\neq 0$ soit $x\neq \dfrac{-1}{3}$
- Calculer $g(-3)$.
Calcul d'une image
Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
$f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
$\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-19$
Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
Il faut remplacer $x$ par $-3$ dans l'expression de $g$$g(-3)=\dfrac{2\times (-3)-1}{3\times (-3)+1}=\dfrac{-7}{-8}=\dfrac{7}{8}$
Penser à contrôler le résultat dans le MENU TABLE de la calculatrice par exemple - Calculer $g\left( \dfrac{4}{5}\right)$.
Il faut remplacer $x$ par $\dfrac{4}{5}$ dans l'expression de $g$$g\left( \dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{2\times \dfrac{4}{5}-1}{3\times \dfrac{4}{5}+1}$
$\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{\dfrac{8}{5}-1}{ \dfrac{12}{5}+1}$
$\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{\dfrac{8}{5}-1}{ \dfrac{12}{5}+1}$
$\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{\dfrac{3}{5}}{ \dfrac{17}{5}}$
$\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{3}{5}\times \dfrac{5}{17}$
$\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{3}{17}$
Penser à contrôler le résultat dans le MENU TABLE de la calculatrice par exemple - Déterminer les antécédents de 4 par $g$.
Calcul d'un (des) antécédent(s)
Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.Il faut résoudre $g(x)=4$.$g(x)=4 \Longleftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1}=4$
$\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow 2x-1=4(3x+1)$ (produits en croix égaux)
$\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow 2x-1=12x+4$
$\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow 2x-12x=4+1$
$\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow -10x=5$
$\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{-10}$
$\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$
$g(x)=4$ pour $x=\dfrac{-1}{2}$
Vérifier avec la calculatrice que $g\left(\dfrac{-1}{2}\right)=4$- Déterminer les antécédents de $\dfrac{2}{3}$ par $g$.
Il faut résoudre $g(x)=\dfrac{2}{3}$.
Les produits en croix sont égaux.$g(x)=\dfrac{2}{3} \Longleftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1}=\dfrac{2}{3}$
$\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 3(2x-1)=2(3x+1)$ (produits en croix égaux)
$\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 6x-3=6x+2$
$\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 6x-6x=3+2$
$\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 0x=5$
Cette équation n'admet aucune solution.
Fiche méthode
Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.Résolution graphique d'équations et d'inéquations
- résoudre une équation de la forme f(x)=k avec la courbe de la fonction
- résoudre une inéquation avec la courbe de la fonction
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réf 49: Lecture graphique des antécédents
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réf 51: Résoudre une inéquation graphiquement
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exercices semblables
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