Exercice 1 (5 points)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=4x^2-4x+4$.
  1. Calculer $f(3)$.
    On veut calculer l'image de 3 par $f$ et il faut remplacer $x$ par la valeur 3.
    $f(3)=4\times 3^2-4\times 3+4=36-12+4=28$


    Penser à contrôler avec le MENU TABLE de la calculatrice.
  2. Calculer l'image de $-2$ par $f$.

    Calcul d'une image


    Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
    Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
    $f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
    $\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
    $\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
    $\phantom{f(-2)}=-19$
    Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
    On remplace $x$ par $-2$
    $-2^2\neq (-2)^2$
    $f(-2)=4\times (-2)^2-4\times (-2)+4=4\times 4+8+4=28$



    Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1)
  3. Calculer $f(1-\sqrt{3})$
    Il faut utiliser une identité remarquable pour développer $(1-\sqrt{3})^2$
    $f(1-\sqrt{3})=4\times (1-\sqrt{3})^2-4\times (1-\sqrt{3})+4$
    $\phantom{f(1-\sqrt{3})}=4\times (1-2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2)-4+4\sqrt{3}+4$
    $\phantom{f(1-\sqrt{3})}=4-8\sqrt{3}+12-4+4\sqrt{3}+4$
    $\phantom{f(1-\sqrt{3})}=16-4\sqrt{3}$



    Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1)
  4. Déterminer les éventuels antécédents de 4 par $f$.

    Calcul d'un (des) antécédent(s)


    Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
    Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=4$
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=4$
    $f(x)=4 \Longleftrightarrow 4x^2-4x+4=4$
    $\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow 4x^2-4x=0$
    $\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x^2-x=0$
    $\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x(x-1)=0$
    $\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x-1=0$
    $\phantom{f(x)=4} \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=1$



    Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1) en calculant $f(0)$ et $f(1)$
  5. Déterminer les éventuels antécédents de 3 par $f$.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
    Il faut écrire que $4x^2-4x=(2x-1)^2-1$
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
    $f(x)=3 \Longleftrightarrow 4x^2-4x+4=3$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 4x^2-4x+1=0$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow (2x-1)^2=0$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 2x-1=0$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$


    Penser à contrôler le résultat (MENU TABLE voir question 1) en calculant $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$

Exercice 2 (8 points)
On donne ci-dessous les représentations graphiques $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[-6;8]$.
  1. Déterminer $f(-5)$, $f(0)$ et $g(8)$.

    Image par une fonction


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
    Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
    Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
    A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.
    Pour $f(-5)$, on cherche l'ordonnée du point de $C_f$ d'abscisse $-5$.
    Il faut chercher les images de $-5$ et 0 par $f$ et de 8 par $g$.

  2. Déterminer les antécédents de $-1$ par $f$.

    Antécédents par une fonction


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    $a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
    Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
    Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
    Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est $-1$
    Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=-1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la droite d'équation $y=-1$



    On a donc $f(0)=-1$.
  3. Déterminer les antécédents de $1$ par $g$.
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_g$ dont l'ordonnée est 1
    Graphiquement, les solutions de l'équation $g(x)=1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_g$ et de la droite d'équation $y=1$



    On a donc $g(3)=1$ et $g(6,5)=1$.
  4. En expliquant la méthode, résoudre l'équation $f(x)=0$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est 0.
    Les points de l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle.
    Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la droite d'équation $y=0$, c'est à dire avec l'axe des abscisses

    Les solutions de l'équation $f(x)=0$ sont $x=-1$ et $x=2$.


    On a donc $f(-1)=0$ et $f(2)=0$.
  5. Résoudre l'équation $g(x)=3$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_g$ dont l'ordonnée est 3.
    Graphiquement, les solutions de l'équation $g(x)=3$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_g$ et de la droite d'équation $y=3$, c'est à dire avec l'axe des abscisses

    Les solutions de l'équation $g(x)=3$ sont $x=-6$, $x=0$ et $x=7$.


    On a donc $g(-6)=3$, $g(0)=3$ et $g(7)=3$.
  6. Résoudre l'équation $f(x)=g(x)$
    Il faut déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la courbe $C_g$.
    Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la courbe $C_g$.

    Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont $x=-3$, $x=3$ et $x=7$.


    On a donc $f(-3)=g(-3)=5$, $f(3)=g(3)=1$ et $f(7)=g(7)=3$.
  7. Résoudre l'équation $f(x)> 3$
    Il faut déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est strictement supérieure à 3.
    Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)>3$ sont les abscisses des points de la courbe $C_f$ dont l'ordonnée est strictement supérieure (points de la courbe situés strictement au-dessus de la droite d'équation $y=3$)

    $f(x)> 3$ (zone rouge de la courbe) pour $x\in [-6;-2[\cup ]7;8]$ (zone verte de l'axe des abscisses)
  8. Résoudre l'équation $f(x)\leq g(x)$
    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ situés en-dessous de la courbe $C_g$.
    Graphiquement, les solutions de l'équation $f(x)\leq g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ situés en-dessous de la courbe $C_g$.

    $f(x)\leq g(x)$ pour $x\in [-3;3]\cup [7;8]$
Exercice 3 (7 points)
La fonction $g$ est définie sur $D_f$ par $g(x)=\dfrac{2x-1}{3x+1}$
  1. Déterminer $D_f$.

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
    Il faut que le dénominateur soit différent de 0.
    Il faut $3x+1\neq 0$ soit $x\neq \dfrac{-1}{3}$
  2. Calculer $g(-3)$.

    Calcul d'une image


    Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
    Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
    $f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
    $\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
    $\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
    $\phantom{f(-2)}=-19$
    Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
    Il faut remplacer $x$ par $-3$ dans l'expression de $g$
    $g(-3)=\dfrac{2\times (-3)-1}{3\times (-3)+1}=\dfrac{-7}{-8}=\dfrac{7}{8}$


    Penser à contrôler le résultat dans le MENU TABLE de la calculatrice par exemple
  3. Calculer $g\left( \dfrac{4}{5}\right)$.
    Il faut remplacer $x$ par $\dfrac{4}{5}$ dans l'expression de $g$
    $g\left( \dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{2\times \dfrac{4}{5}-1}{3\times \dfrac{4}{5}+1}$
    $\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{\dfrac{8}{5}-1}{ \dfrac{12}{5}+1}$
    $\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{\dfrac{8}{5}-1}{ \dfrac{12}{5}+1}$
    $\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{\dfrac{3}{5}}{ \dfrac{17}{5}}$
    $\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{3}{5}\times \dfrac{5}{17}$
    $\phantom{g\left( \dfrac{4}{5}\right)} =\dfrac{3}{17}$



    Penser à contrôler le résultat dans le MENU TABLE de la calculatrice par exemple
  4. Déterminer les antécédents de 4 par $g$.

    Calcul d'un (des) antécédent(s)


    Pour rechercher les antécédents d'un nombre $\alpha$ par une fonction $f$ définie sur $D_f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=\alpha$.
    Les valeurs trouvées doivent appartenir à $D_f$.
    Il faut résoudre $g(x)=4$.
    $g(x)=4 \Longleftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1}=4$
    $\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow 2x-1=4(3x+1)$ (produits en croix égaux)
    $\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow 2x-1=12x+4$
    $\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow 2x-12x=4+1$
    $\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow -10x=5$
    $\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{-10}$
    $\phantom{g(x)=4 } \Longleftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$
    $g(x)=4$ pour $x=\dfrac{-1}{2}$


    Vérifier avec la calculatrice que $g\left(\dfrac{-1}{2}\right)=4$
  5. Déterminer les antécédents de $\dfrac{2}{3}$ par $g$.
    Il faut résoudre $g(x)=\dfrac{2}{3}$.
    Les produits en croix sont égaux.
    $g(x)=\dfrac{2}{3} \Longleftrightarrow \dfrac{2x-1}{3x+1}=\dfrac{2}{3}$
    $\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 3(2x-1)=2(3x+1)$ (produits en croix égaux)
    $\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 6x-3=6x+2$
    $\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 6x-6x=3+2$
    $\phantom{g(x)=\dfrac{2}{3}} \Longleftrightarrow 0x=5$
    Cette équation n'admet aucune solution.

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Résolution graphique d'équations et d'inéquations

- résoudre une équation de la forme f(x)=k avec la courbe de la fonction
- résoudre une inéquation avec la courbe de la fonction


infos: | 10-15mn |

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