1. maths seconde
  2. chapitre
  3. devoir corrigé nº323
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Exercice 1 (10 points)
  1. La fonction $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
    Quel est l'ensemble de définition $D_f$ de $f$?

    Rappel de cours

    Ensemble de définition

    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.

    Aide

    Il faut que le dénominateur soit différent de $0$

    Solution

    On doit avoir $x\neq 0$ car le dénominateur ne doit pas être égal à $0$
  2. La fonction $f$ est-elle paire ou impaire?

    Rappel de cours

    Fonction impaire

    Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est impaire si pour tout réel $x$ de $D$ on a:
    $\begin{cases} -x\in D\\ f(-x)=-f(x) \end{cases}$
    La représentation graphique de $f$ est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.
    Remarque: pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ signifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro.
    Par exemple si $D=[-3;5]$ la fonction $f$ ne peut pas être impaire.

    Aide

    Il faut calculer $f(-x)$

    Solution

    Pour tout réel $x\neq 0$ on a:
    $x\in D_f$ alors $-x\in D_f$ ($D_f$ est symétrique par rapport au zéro)
    $f(-x=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$

    et $C_f$ est symétrique par rapport à l'origine du repère.
  3. Rappeler le tableau de variation de $f$.

    Solution

    La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$
  4. Tracer la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère ci-dessous.

    Aide

    On peut dresser un tableau de valeurs pour $x>0$ puis utiliser le point $O(0;0)$ centre de symétrie.

    Solution

    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour faire un tableau de valeurs et placer les points.
    Tableau de valeurs:

  5. La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2+\dfrac{7}{4}$
    1. Rappeler le tableau de variation et la courbe représentative de la fonction carré.

      Solution

      La fonction carré est décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.

    2. En déduire le tableau de variation de $g$.

      Aide

      On a $g(x)=u(x)+\dfrac{7}{4}$ avec $u(x)=x^2$

      Solution

      $g(x)=u(x)+\dfrac{7}{4}$ avec $u(x)=x^2$
      Il suffit donc d'ajouter $\dfrac{7}{4}$ à $x^2$...
      Ce qui signifie que graphiquement, on obtient les points de la courbe $C_g$ en ajoutant $\dfrac{7}{4}$ aux ordonnées des points de la courbe représentant la fonction carré.
    3. Tracer la courbe représentative $C_g$ de la fonction $g$ dans le même repère que $C_f$.

      Aide

      Il faut translater la courbe de la fonction carré de $\dfrac{7}{4}=1,75$ unités vers le haut.

      Solution

      Courbe
  6. Résoudre graphiquement $\dfrac{1}{x}=x^2+\dfrac{7}{4}$.
    On notera $x_0$ la solution obtenue graphiquement.

    Aide

    Il faut déterminer les abscisses des points d'intersection de $C_f$ et $C_g$.

    Solution

    Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $C_f$ et de la courbe $C_g$

  7. Calculer $f(x_0)$ puis $g(x_0)$ pour contrôler le résultat.

    Rappel de cours

    Image par une fonction

    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
    Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
    Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
    A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.

    Solution

    $f(x_0)=f\left( \dfrac{1}{2}\right) =\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$
    et $g(x_0)=g\left( \dfrac{1}{2}\right) =\left( \dfrac{1}{2}\right) ^2+\dfrac{7}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}=2$
  8. Résoudre graphiquement, l'inéquation $f(x)>g(x)$ sur $]0;+\infty[$.

    Aide

    Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ situés strictement au-dessus des points de la courbe $C_g$.

    Solution

    Les solutions de l'équation $f(x)>g(x)$ sont les abscisses(en orange) strictement positives (résolution sur $]0;+\infty[$) des points de la courbe $C_f$(en bleu) situés strictement au-dessus de la courbe $C_g$

    soit $x\in ]0;\dfrac{1}{2}[$ (zone orange sur l'axe des abscisses)
Exercice 2 (10 points)
  1. Rappeler le tableau de variation de la fonction carré.
  2. $x$ est un réel tel que $-3 < x < -1$, donner un encadrement de $(x+1)^2-2$

    Rappel de cours

    Opérations sur les inégalités

    Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels.
    . $a\leq b \Longleftarrow a+c\leq b+c$
    On ne change pas une inégalité en ajoutant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres)
    - Si $a\leq c$ et $c\leq d$ alors $a+c\leq b+d$
    On peut ajouter membre à membre deux inégalités.
    - Si $c>0$, $a\leq b\Longleftrightarrow ac\leq bc$
    On ne change pas une inégalité en multipliant les deux membres par un même nombre strictement positif.
    - Si $c<0$, $a\leq b\Longleftrightarrow ac\geq bc$
    Une inégalité change de sens en multipliant les deux membres par un même nombre strictement négatif.

    Aide

    Encadrer d'abord $x+1$ puis utiliser le sens de variation de la fonction carré sur $]-\infty;0]$.

    Solution

    $-3 < x < -1$
    donc $ -3+1 < x+1 < -1+1$ (on ajoute 1 à chaque membre de l'inégalité)
    donc $-2 < x+1 < 0$
    La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ (l'ordre des images est inversé)
    $-2 < x+1 < 0$ donc $(-2)^2>(x+1)^2>0^2$
    soit $ 4>(x+1)^2>0$
    donc $ 4-2>(x+1)^2-2>0-2$ (en soustrayant $2$ à chaque membre)
  3. Le rayon d'un disque est de $4$cm à $0,1$ cm près.
    Donner un encadrement de son aire.

    Rappel de cours

    Valeur approchée d'un réel

    Si $x \in [a;b]$ alors le centre de l'intervalle $c=\dfrac{a+b}{2}$ est une valeur approchée de $x$ avec la précision $r=b-c=c-a$ (rayon de l'intervalle de centre $c$).
    Par exemple si $2,7$ est une valeur approchée de $x$ à $0,1$ près alors on a $2,7-0,1 < x < 2,7+0,1$ soit $2,6\leq x \leq 2,8$.

    Solution

    On a donc $R$ tel que $4-0,1 < R < 4+0,1$
    soit $3,9 < R < 4,1$ (en cm)
    $Aire=\pi R^2$
    La fonction carré est croissante sur $[0;+\infty[$ donc $3,9^2 < R^2 < 4,1^2$ (les images sont classées dans le même ordre)
    soit $\pi \times 3,9^2 < Aire < \pi \times 4,1^2$
    $\pi \times 3,9^2\approx 47,7836$
    $\pi \times 4,1^2\approx 52,8102$
    Il faut prendre une valeur approchée par défaut de la borne inférieure et une valeur approchée par excès de la borne supérieure


    Avec la précision du dixième, on a $47,7 < Aire <52,9$ cm$^2$
  4. $x$ est un réel tel que $4 < x^2 < 9$.
    Donner un encadrement de $x$.

    Aide

    Il faut chercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est comprise entre $4$ et $9$

    Solution

    Les solutions de l'inéquation $4 < x^2 < 9$ sont les abscisses (en vert) des points de la courbe(en bleu) de la fonction carré dont l'ordonnée est comprise entre $4$ et $9$.

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