Exercice 1 (6 points)
Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ dans chacun des 5 cas suivants:

  1. figure 1:

    Produit scalaire et projeté orthogonal


    Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
    Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
    et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)
    ABCD est un rectangle donc B est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
    donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AB=AB^2=9$
  2. figure 2:

    Produit scalaire (définition)


    $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC \times cos(\widehat{BAC} )=3\times 2 \times cos(\pi)=-6$
  3. figure 3:

    Produit scalaire (définition)


    $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC \times cos(\widehat{BAC} )=3\times 2 \times cos(\dfrac{\pi}{3})=6\times \dfrac{1}{2}=3$
  4. figure 4:

    Produit scalaire dans un repère orthonormé


    Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
    figure

    $ \overrightarrow{AB}(-3;-2)$ et $ \overrightarrow{AC}(1;-2)$
    donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=-3\times 1+(-2)\times (-2)=1$
  5. figure 5:

    Produit scalaire avec les normes


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
    Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-|| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}||^2}{2}=\dfrac{AB^2+AC^2-CB^2}{2}=\dfrac{4^2+6^2-3^2}{2}=21,5$
Exercice 2 (4 points)
Calculer $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$ dans chaque cas:
  1. $AB=5$, $AC=4$ et $BC=3$

    Produit scalaire avec les normes


    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid^2+\mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid^2-\mid \mid \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\mid \mid^2}{2}$
    Dans le triangle $ABC$: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
    $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2}$
    $~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{5^2+3^2-4^2}{2}$
    $~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{18}{2}$
  2. $ABC$ est un triangle isocèle en $A$ tel que $BC=6$

    Produit scalaire et projeté orthogonal


    Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
    Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
    et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)
    Figure

    $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ et $ABC$ isocèle en $A$ donc $H$ milieu de $[BC]$
    $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BH\times BC=3\times 6=18$
  3. $B$ milieu de $[AC]$ et $AC=6$
    On peut utiliser $\widehat{ABC}=\pi$ radians
    Figure

    $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA \times BC\times cos(\widehat{ABC})=3\times 3 cos(\pi)=-9$
  4. $ABC$ est isocèle en $B$, $AB=5$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$ radians.
    Figure

    $\widehat{ABC}=\pi-2\times \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3}$
    $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA \times BCcos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}=5\times 5 cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=25\times \dfrac{-1}{2}=-12,5$
Exercice 3 (4 points)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux de norme 4.
Calculer $(\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$

Propriétés du produit scalaire


Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

Carré scalaire


$\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$

Orthogonalité


Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
Développer l'expression et calculer avec les données
On a $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux de norme 4
donc $||\overrightarrow{u}||=||\overrightarrow{v}||=4$ et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
$(\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}).(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})$
$=\overrightarrow{u}^2+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}^2$
$=||\overrightarrow{u}||^2-2||\overrightarrow{v}||^2$
$=16-32$
$=-16$
Exercice 4 (6 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On donne $A(-4;5)$, $B(1;6)$ et $C(2;2)$.
Calculer la valeur de $\widehat{BAC}$ arrondie au dixième de degrés.

Produit scalaire (définition)


$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$

Produit scalaire dans un repère orthonormé


Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Experimer le produit scalaire de deux manières différentes pour obtenir une équation d'inconnue $cos(\widehat{BAC})$
$\overrightarrow{AB}(1-(-4);6-5)$ donc $\overrightarrow{AB}(5;1)$
et $AB=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$
$\overrightarrow{AC}(2-(-4);2-5)$ donc $\overrightarrow{AC}(6;-3)$
et $AC=\sqrt{6^2+(-3)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\sqrt{26}\times 3\sqrt{5}cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=3\sqrt{130}cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=5\times 6+1\times (-3)$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=30-3$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=27$
On a donc $3\sqrt{130}cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=27$
donc $cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\dfrac{27}{3\sqrt{130}}=\dfrac{9}{\sqrt{130}}$
donc $\widehat{BAC}=cos^{-1}\left(\dfrac{9}{\sqrt{130}}\right)\approx 37,9^\circ$

Fiche méthode


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Calculs de longueurs et d'angles dans un triangle

- calcul d'une longueur
- calcul d'un angle


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