1. spécialité maths terminale
  2. chapitre
  3. devoir corrigé nº1289
PDF reservé aux abonnés
Exercice 1 (7 points)
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$.
  1. $f(x)=4x+1$ avec $D=\mathbb{R}$

    Rappel de cours

    Primitives des fonctions usuelles

    Solution

    $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ donc $f$ admet des primitives $f$.
    $F(x)=2x^2+x$
    En effet $F'(x)=2\times 2x+1=4x+1=f(x)$
  2. $f(x)=\dfrac{-5}{x}$ avec $D=]0;+\infty[$

    Rappel de cours

    Primitives des fonctions usuelles

    Solution

    $f$ est continue sur $D$ donc admet des primitives sur $D$.
    $F(x)=-5ln(x)$
    En effet $F'(x)=-5\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{-5}{x}=f(x)$
  3. $f(x)=2e^x+x$ avec $D=\mathbb{R}$

    Aide

    On peut chercher une primitive de $2e^x$ et de $2$

    Solution

    $f$ est continue sur $D$ donc admet des primitives sur $D$.
    $F(x)=2e^x+\dfrac{x^2}{2}$
    En effet $F'(x)=2\times e^x+\dfrac{2x}{2}=2e^x+x=f(x)$
  4. $f(x)=6e^{3x}$ avec $D=\mathbb{R}$

    Rappel de cours

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$

    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

    Aide

    $(e^{3x})'=3e^{3x}$

    Solution

    $f$ est continue sur $D$ donc admet des primitives sur $D$.
    $F(x)=2e^{3x}$
    En effet $F'(x)=2\times 3e^{3x}=6e^{3x}=f(x)$
  5. $f(x)=cos(-2x+1)$ avec $D=\mathbb{R}$

    Aide

    $(sin(ax+b))'=acos(ax+b)$

    Solution

    $f$ est continue sur $D$ donc admet des primitives sur $D$.
    $F(x)=\dfrac{-1}{2}sin(-2x+1)$
    En effet $F'(x)=\dfrac{-1}{2}\times (-2cos(-2x+1))=cos(-2x+1)=f(x)$
Exercice 2 (3 points)
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(4-x)e^{-x}$.
  1. Montrer que $F$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(x-3)e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

    Rappel de cours

    Primitive d'une fonction

    $F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
    Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
    Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)

    Aide

    On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^{-x}$ et il faut vérifier que $F'(x)=f(x)$

    Solution

    On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^{-x}$
    et on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$ (on a $(-x)'=-1$)
    $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $=1e^{-x}+(x-3)(-e^{-x})$
    $=e^{-x}-xe^{-x}+3e^{-x}$
    $=e^{-x}(1-x+3)$
    $=e^{-x}(4-x)$
    $=f(x)$
  2. En déduire la primitive $G$ de $f$ s'annulant en $x=-1$.

    Rappel de cours

    Ensemble des primitives d'une fonction

    $f$ est une fonction continue sur $I$ admettant une primitive $F$ sur $I$. L'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $G$ de la forme $G(x)=F(x)+C$ avec $C\in \mathbb{R}$

    Aide

    On a $G(x)=F(x)+C$ et $G(-1)=0$

    Solution

    $G(x)=F(x)+C=e^{-x}(x-3)+C$ avec $C$ constante réelle
    $G$ s'annule en $x=-1$
    donc $G(-1)=e^{1}(-1-3)+C=-4e+C=0$
    $-4e+C=0\Longleftrightarrow C=4e$

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Calculs d'intégrales

- intégrales avec les fonctions usuelles
- intégration par parties

infos: | 20mn |

Afficher la fiche méthode

vidéos semblables


Pour compléter ce devoir, nous vous conseillons les vidéos suivantes pour préparer ce devoir.
réf 1295: Justifier qu'une fonction F est une primitive de f
| 3mnmn |
réf 1296: Primitives utilisant la dérivée de exp(u)
| 4mnmn |

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
réf 1260: Justifier que F primitive de f
| 6-10mn |
réf 1261: Primitives avec les fonctions usuelles
| 4-6mn |
réf 1259: Justifier une primitive
| 6-8mn |