Exercice 1 (4 points)
Donner la forme algébrique de chacun des complexes ci-dessous:
  1. $(2-3i)^2$
    On peut utiliser les identités remarquables avec $a=2$ et $b=3i$ et on a alors $(a-b)^2$
    $(2-3i)^2=2^2-2\times 2\times 3i+(3i)^2=4-12i-9=-5-12i$

    penser à contrôler le calcul avec la calculatrice
  2. $\dfrac{2+i}{1-3i}$

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
    Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $1-3i$ soit $1+3i$
    $\dfrac{2+i}{1-3i}= \dfrac{(2+i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}$
    $\phantom{\dfrac{2+i}{1-3i}}= \dfrac{2+6i+i+3i^2}{1^2+3^2}$
    $\phantom{\dfrac{2+i}{1-3i}}= \dfrac{2+7i-3}{10}$
    $\phantom{\dfrac{2+i}{1-3i}}= \dfrac{-1+7i}{10}$

    penser à contrôler le calcul avec la calculatrice
  3. $2e^{i\frac{\pi}{6}}$
    $2e^{i\frac{\pi}{6}}=3\left(cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$
    $\phantom{2e^{i\frac{\pi}{6}}}=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right)$
    $\phantom{2e^{i\frac{\pi}{6}}}=\sqrt{3}+i$
Exercice 2 (4 points)
Ecrire les complexes ci-dessous sous forme exponentielle.
  1. $-5+5i$

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
    Il faut calculer $|-5+5i|$ puis résoudre le systèmes d'équation formé avec $cos(\theta)$ et $sin(\theta)$ si $\theta=arg(-5+5i)$ ($2\pi$)
    $|-5+5i|=\sqrt{(-5)^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
    Si on pose $\theta=arg(-5+5i)$ ($2\pi$), on a alors:
    $cos(\theta)=\dfrac{Re(-5+5i)}{|-5+5i|}=\dfrac{-5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
    et $sin(\theta)=\dfrac{Im(-5+5i)}{|-5+5i|}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    On doit donc résoudre $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ ($2\pi$)
  2. $(\sqrt{3}-3i)^4$
    Il faut déterminer d'abord la forme exponentielle de $\sqrt{3}-3i$
    $|\sqrt{3}-3i|=\sqrt{\sqrt{3}^2+(-3)^2}=\sqrt{3+9}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
    Si on pose $\theta=arg(\sqrt{3}-3i)$ ($2\pi$), on a alors:
    $cos(\theta)=\dfrac{Re(\sqrt{3}-3i)}{|\sqrt{3}-3i|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}$
    et $sin(\theta)=\dfrac{Im(\sqrt{3}-3i)}{|\sqrt{3}-3i|}=\dfrac{-3}{2\sqrt{3}}=-\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    On doit donc résoudre $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\\ sin(\theta)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{-\pi}{3}$ ($2\pi$)
    donc $\sqrt{3}-3i=2\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{3}}$
    et $\left(\sqrt{3}-3i\right)=\left(2\sqrt{3}\right)^4\left(e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)^4=16\times 9e^{-i\frac{4\pi}{3}}$

    $\dfrac{-4\pi}{3}+2\pi=\dfrac{2\pi}{3}$ donc la mesure principale de $\dfrac{-4\pi}{3}$ est $\dfrac{2\pi}{3}$
    donc $\left(\sqrt{3}-3i\right)^4=144e^{i\frac{2\pi}{3}}$
  3. $i e^{-i\frac{\pi}{3}}$

    Forme exponentielle


    $z$ est un complexe d'argument $\alpha$
    La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$
    Il faut déterminer d'abord la forme exponentielle de $i$
    $|i|=1$ et $arg(i)=\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
    donc $i=e^{i\frac{\pi}{2}}$
    $i e^{-i\frac{\pi}{3}}=e^{i\frac{\pi}{2}}e^{-i\frac{\pi}{3}}$
    $\phantom{i e^{-i\frac{\pi}{3}}}=e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}$
    $\phantom{i e^{-i\frac{\pi}{3}}}=e^{i\frac{\pi}{6}}$
Exercice 3 (6 points)
  1. Résoudre $2z-1+3i=iz+2$ dans $\mathbb{C}$.
    Ecrire la solution sous forme algébrique.
    Il faut "isoler" $z$ en factorisant d'abord $z$
    $2z-1+3i=iz+2 \Longleftrightarrow 2z-iz=1-3i+2$
    $\phantom{2z-1+3i=iz+2} \Longleftrightarrow z(2-i)=3-3i$
    $\phantom{2z-1+3i=iz+2} \Longleftrightarrow z=\dfrac{3-3i}{2-i}$
    La solution est $z=\dfrac{3-3i}{2-i}$.
    Ecriture sous forme algébrique
    $z=\dfrac{3-3i}{2-i}=\dfrac{(3-3i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}$
    $\phantom{z=\dfrac{3-3i}{2-i}}=\dfrac{6+3i-6i-3i^2}{2^2+1^2}$
    $\phantom{z=\dfrac{3-3i}{2-i}}=\dfrac{6-3i+3}{5}$
    $\phantom{z=\dfrac{3-3i}{2-i}}=\dfrac{9-3i}{5}$
  2. $2z^2-4z+5=0$

    Équations du second degré à coefficients réels


    équation du second degré à coefficients réels
    Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
    - Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
    Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
    Il faut calculer $\Delta=b^2-4ac$ et on a 2 racines complexes conjuguées.
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 2\times 5=16-40=-24$
    $\Delta< 0$ donc il y a deux racines complexes conjuguées.
    $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{ 4+i\sqrt{24} }{ 4 }=\dfrac{ 4+i2\sqrt{6} }{ 4 }=\dfrac{2+i\sqrt{6} }{ 2 }$
    et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}=\dfrac{2-i\sqrt{6} }{ 2 }$

    penser à contrôler avec la calculatrice
    CASIO: MENU EQUA puis POLY et degré 2 et saisir les coefficients $a$, $b$ et $c$.
    Penser à activer le MODE COMPLEXE avec la SETUP (SHIFT puis MENU)+
  3. Résoudre $z-2i\overline{z}=-4-i$ dans $\mathbb{C}$

    conjugué d'un complexe


    Soit $z=a+ib$ un complexe avec $a$ et $b$ réels.
    Le conjugué de $z$ noté $\overline{z}$ est le compexe $\overline{z}=a-ib$
    On peu poser $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels
    On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et on a $\overline{z}=x-iy$.
    $z-2i\overline{z}=-4-i \Longleftrightarrow x+iy-2i(x-iy)=-4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow x+iy-2ix+2i^2y=-4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow x+iy-2ix-2y=-4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=4-i} \Longleftrightarrow x-2y+i(y-2x)=4-i$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}x-2y=-4\\ y-2x=-1 \end{cases}$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}x-2(-1+2x)=-4\\ y=-1+2x \end{cases}$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}-3x+2=-4\\ y=-1+2x \end{cases}$
    $\phantom{z-2i\overline{z}=-4-i} \Longleftrightarrow \begin{cases}x=2\\ y=3 \end{cases}$
Exercice 4 (6 points)
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $a=2+3i\sqrt{3}$, $b=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$, $ c=-4-3i\sqrt{3}$ et $d=-2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$.
  1. Calculer $b-a$ et $c-d$ et en déduire que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
    $b-a$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $c-d$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{DC}$
    $b-a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i-(2+3i\sqrt{3})=-2-i\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+3\sqrt{3}\right)=-2-i\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
    $c-d=-4-3i\sqrt{3}-\left(-2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)=-2-i\left(3\sqrt{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=-2-i\dfrac{10\sqrt{3}}{3}$
    $b-a$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $c-d$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{DC}$
    et on a $b-a=c-d$ donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
  2. Démontrer que $\dfrac{d-b}{c-a}$ est un imaginaire pur.

    Suppression des complexes au dénominateur


    Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
    En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
    soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
    Exemple:
    $z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$
    $arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})$
    $\dfrac{d-b}{c-a}=\dfrac{-2+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i-\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i\right)}{-4-3i\sqrt{3}-(2+3i\sqrt{3})}$
    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{-2+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}i}{-6-6i\sqrt{3}}$
    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{\left(-2+i\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)(-6+6i\sqrt{3})}{(-6-6i\sqrt{3})(-6+6i\sqrt{3})}$
    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{12-12i\sqrt{3}-4i\sqrt{3}+12i^2}{(-6)^2+(6\sqrt{3})^2)}$
    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{12-16i\sqrt{3}-12}{36+108}$
    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{-16i\sqrt{3}}{144}$
    $\phantom{\dfrac{d-b}{c-a}}=\dfrac{-i\sqrt{3}}{9}$
  3. En déduire la nature du parallélogramme $ABCD$.
    $arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)$ est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})$
    L'argument de $\dfrac{-i\sqrt{3}}{9}$ est $\dfrac{-\pi}{2}$ ($2\pi$)
    et $arg\left(\dfrac{d-b}{c-a}\right)=arg(d-b)-arg(c-a)=(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})$ ($2\pi$)
    donc $(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD})=-\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
    donc les diagonales du parallélogramme $ABCD$ sont perpendiculaires

    Figure:

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

forme algébrique d'un quotient

- rappel de $z\overline{z}$
- suppression des complexes au dénominateur
- exemples


infos: | 15mn |

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