MATHS-LYCEE.FR maths devoir corrigé chapitre

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Exercice 1 (6 points)

On donne ci-dessous la représentation graphique notée $C_f$ de la fonction $f$.

A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes:

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ que l'on notera $D_f$.

Rappel de cours

Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.

Solution

Les abscisses des points de la courbe varient de $-8$ à 7
Déterminer le maximum et le minimum de $f$.

Rappel de cours

Extremums d'une fonction: maximum et minimum
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$.
Le maximum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $M$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\leq M$
Le minimum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $m$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\geq m$
$f$ admet un extremum sur I si $f$ admet un maximum ou un minimum sur I.

Le maximum ou le minimum se lit sur l'axe des ordonnées sur le graphique.

Solution

Maximum et minimum
Déterminer l'image de 4 par $f$.

Rappel de cours

Image par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.

Aide

Il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse 4

Solution

Sur le graphique, le point de la courbe d'abscisse 4 a pour ordonnée $1,5$
$3$ est-il un antécédent de $-8$ par $f$?

Rappel de cours

Antécédents par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
$a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$

Aide

Il faut déterminer si $f(3)=-8$

Solution

Si $3$ est un antécédent de $-8$ par $f$ alors $f(3)=-8$.
L'image de $3$ par $f$ est comprise entre 1 et 2
Déterminer les antécédents de $0$ par $f$.

Rappel de cours

Antécédents par une fonction
$f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
$a$ est un antécédent de $b$ par $f$ si $f(a)=b$.
Un réel $b$ peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ou bien même aucun antécédent.
Pour déterminer pare le calcul les antécédents, s'ils existent de $b$ par $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=b$.
Pour déterminer graphiquement un ou les antécédents de $b$ par $f$, s'il(s) existe(nt), il faut déterminer les abscisses des points de la courbe $C_f$ d'ordonnée $b$

Aide

Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée 0, c'est à dire situés sur l'axe des abcsisses

Solution

Il y a 3 points de la courbe ayant pour ordonnée $0$
Résoudre l'équation $f(x)=\dfrac{3}{2}$.

Aide

Il faut déterminer les abscisses des points de la courbe d'ordonnée $\dfrac{3}{2}=1,5$ (antécédents de $1,5$ par $f$)

Solution

Les solutions de l'équation $f(x)=\dfrac{3}{2}$ sont les abscisses (en bleu) des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=\dfrac{3}{2}$(en rouge sur le graphique)

$f(x)=\dfrac{3}{2}$ pour $x=-8$, $x=0$ et $x=4$.
Résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.

Aide

Il faut chercher les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est strictement supérieure à 0.

Solution

Les solutions de l'inéquation $f(x) > 0$ sont les abscisses(en bleu) des points de la courbe $C_f$ (en pointillés rouges sur le graphique) situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

donc $f(x) >0$ pour $x\in [-8;-7[$ ou pour $x\in ]-3;6[$ (en bleu sur l'axe des abscisses)

Exercice 2 (4 points)

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+3x+1$.

Calculer l'image de 3 par $f$ puis de $-2$ par $f$.

Aide

Il faut remplacer $x$ par 3 puis par $-2$ dans l'expression de $f$.

Solution

Il faut calculer $f(3)$.
$f(3)=-2\times 3^2+3\times 3+1$.
$\phantom{f(3)}=-2\times 9+9+1$.
$\phantom{f(3)}=-18+10$.
$\phantom{f(3)}=-8$.

$f(-2)=-2\times (-2)^2+3\times (-2)+1$.
$\phantom{f(-2)}=-2\times 4-6+1$.
$\phantom{f(-2)}=-12-5$.
$\phantom{f(-2)}=-17$.
Le point de coordonnées $(1;-1)$ appartient-il à la courbe représentative de $f$.

Aide

Le point de coordonnées $(1;-1)$ appartient à la courbe si l'image de 1 par $f$ est $-1$.

Solution

$f(1)=-2\times 1^2+3\times 1+1$.
$\phantom{f(1)}=-2+3+1$.
$\phantom{f(1)}=2$.