Exercice 1 (4 points)
- Calculer $ln(e^3)-3ln(1)$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Rappel $ln(e)=1$$ln(e^3)-3ln(1)=3ln(e)-3ln(1)$ (rappel: $ln(e)=1$ et $ln(1)=0$)
- Ecrire sous forme d'un seul logarithme $2ln(3)-3ln(2)$
- Exprimer en fonction de $ln(2)$: $ln(4)-2ln(3)+ln(36)$
$4=2^2$ et $36=3^2\times 2^2$$ln(4)-2ln(3)+ln(36)$
$~~~~=ln(2^2)-ln(3^2)+ln(36)$
$~~~~=ln\left( \dfrac{2^2}{3^2}\right) +ln(36)$
$~~~~=ln\left( \dfrac{2^2\times 36}{3^2}\right)$
$~~~~=ln\left( \dfrac{2^2\times 4\times 9}{9}\right)$
$~~~~=ln\left( 2^2\times 4\right)$
$~~~~=ln\left( 2^2\times 2^2 \right)$
$~~~~=ln\left( 2^4 \right)$
$~~~~=4ln\left( 2 \right)$
Exercice 2 (7 points)
- Résoudre dans $]0;+\infty[$, $ln(x)=2$
Lien entre logarithme et exponentielle
- Pour tout réel $a >0$ on a $e^{ln(a)}=a$
- Pour tout réel $b$ on a $ln(e^b)=b$
- Valeurs particulières
$ln(1)=0$ et $ln(e)=1$$ln(x)=2\Longleftrightarrow x=e^2$ (rappel: $ln(e^x)=x$)
- Résoudre dans $]0;+\infty[$, $3ln(x)-ln(x^2)=1$
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Equations et inéquations avec ln
La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a:
$ln(a)=ln(b)\Longleftrightarrow a =b$
$ln(a) < ln(b) \Longleftrightarrow a < b$Rappel $ln(x^2)=2ln(x)$$3ln(x)-ln(x^2)=1$
$\Longleftrightarrow 3ln(x)-2ln(x)=1$
$\Longleftrightarrow ln(x)=1$
$\Longleftrightarrow x=e$
- Résoudre $x^3=5$
$ln(x^3)=ln(5)$ et $ln(x^3)=3ln(x)$$x^3=5$
$ \Longleftrightarrow x=5^{\dfrac{1}{3}}$
On peut aussi écrire:
$x^3=5 \Longleftrightarrow ln(x^3)=ln(5)$
$\phantom{x^3=5} \Longleftrightarrow 3ln(x)=ln(5)$
$\phantom{x^3=5} \Longleftrightarrow x=e^{\frac{ln(5)}{3}}$
et $e^{\frac{ln(5)}{3}}=\left( e^{ln(5)}\right)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}}$ - Résoudre dans $]0;+\infty[$, $2ln(x) < 4$
$-2ln(x) < 4$
$\Longleftrightarrow ln(x) > 2$
$\Longleftrightarrow ln(x) > ln(e^2)$
$\Longleftrightarrow x > e^2$
- Résoudre $ln(x+1)+ln(2-x)=0$
Chercher d'abord l'ensemble de résolution (il faut $x+1 > 0$ et $2-x > 0$)
Regrouper en un seul logarithme le membre de gaucheRecherche de $D_f$
$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$
donc il faut $x+1 > 0$ et $2-x > 0$
$x+1 > 0 \Longleftrightarrow x > -1$
et $2-x > 0 \Longleftrightarrow 2 > x$
On veut donc $x > -1$ et $x < 2$
On résout sur $]-1;2[$:
$ln(x+1)+ln(2-x)=0 \Longleftrightarrow ln\left[(x+1)(2-x) \right] =ln(1)$
$\phantom{ln(x+1)+ln(2-x)=0} \Longleftrightarrow ln\left[-x^2+x+2 \right] =ln(1)$
$\phantom{ln(x+1)+ln(2-x)=0} \Longleftrightarrow -x^2+x+2 =1$
$\phantom{ln(x+1)+ln(2-x)=0} \Longleftrightarrow -x^2+x+2-1=0$
Recherche des solutions de $-x^2+x+1=0$
$\Delta=b^2-4ac=1-4\times (-1)\times 1=1+4=5$
$\Delta > 0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,62$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,62$
On résout sur $]-1;2[$
Exercice 3 (9 points)
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l'électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2500.
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5;25] par $f(x) = 18 ln x - x^2 + 16x - 15$.
Si $x$ représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que $f(x)$ représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.
On suppose que $f$ est dérivable sur $[0,5;25]$, et on note $f~'$ sa fonction dérivée.
- Calculer $f~'(x)$.
Vérifier que, pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0,5;25], on a $f~'(x) = \dfrac{- 2x^2 + 16x + 18}{x}$.Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Réduire au même dénominateur pour retrouver le résultat de l'énoncé.$f~'(x)=18\times \dfrac{1}{x}-2x+16= \dfrac{18}{x}-\dfrac{2x^2}{x}+\dfrac{16x}{x}=\dfrac{18-2x^2+16x}{x}$
- Étudier le signe de $f~'(x)$ sur l'intervalle [0,5;25].
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
$x > 0$ donc $f~'(x)$ est du signe de son numérateur$x\in [0,5~;~25]$ donc $f~'(x)$ est du signe de numérateur $- 2x^2 + 16x + 18$
recherche des racines de $- 2x^2 + 16x + 18$
$\Delta=b^2-4ac=16^2-4\times (-2)\times 18=400=20^2$
$\Delta > 0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-16-20}{-4}=9$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-16+20}{-4}=-1$ $x_2 \notin [0,5~;~25]$
Signe de $- 2x^2 + 16x + 18$ $- 2x^2 + 16x + 18$ est du signe de $a=-2$ coefficient de $x_2$ sur $[9;+\infty[$
conclusion
$f~'(x) < 0$ sur $[9;25]$
- Calculer $f(1)$.
$f(1)=18 \ln (1) - 1^2 + 16 - 15=0$
- Montrer que sur l'intervalle [18~;~19] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$.
Déterminer une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{- 2}$ près.Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Il faut calculer $f(18)$ et $f(19)$ et vérifier que 0 est compris entre $f(18)$ et $f(19)$sur l'intervalle [18~;~19]:
$f$ est continue donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend toute valeur comprise entre $f(18)$ et $f(19)$.
On a $f(18)\approx 1$ et $f(19)\approx -19$
$0$ est compris entre $f(18)$ et $f(19)$ et $f$ est strictement décroissante
Avec le MENU TABLE de la calculatrice, en saisissant $f(x)$ en Y1 et en paramétrant dan SET XSTART=18, XEND=19 et STEP=0,1 dans un premier temps puis STEP=0,01 ensuite avec les bornes de l'encadre,ment aux dixièmes , on a:
$f(18,05)\approx 0,07$ et $f(18,06)\approx -0,12$
donc $18,05 < \alpha < 18,06$
- En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0,5;25].
- Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?
L'entreprise fait du bénéfice si $f(x) > 0$L'entreprise est bénéficiaire quand $f(x) > 0$
$f(x) > 0$ pour $x\in ]1;\alpha[$
donc il faut vendre au au minimum 1 centaine de panneaux et au maximum $\alpha$ centaines de panneaux
en prenant la valeur approchée par défaut de $\alpha$ (car si $x > \alpha$, on a $f(x) < 0$) on a bien $f(x) > 0$
- Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100~000 euros ? Justifier la réponse.Plusieurs méthodes sont possibles, notamment en utilisant le menu TABLE de la calculatrice.
D'après le tableau de variation de $f$, le maximum de $f$ est atteint en $x=9$ et vaut $f(9)\approx 87,55$ (en milliers d'euros)
soit un bénéfice maximum de 87 550 euros environ
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