Exercice 1 (6 points)
On considère les complexes $z=1+i\sqrt{3}$ et $z'=1-i$.
  1. Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ et de $z'$

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    $|z|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2$
    $z'=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).


    $|z'|=\sqrt{(1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$
    $z'=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
    $\phantom{z'}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta'=arg(z')$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta')=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta')=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta'=-\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).
  2. En déduire l'écriture exponentielle de $zz'$.

    Forme exponentielle


    $z$ est un complexe d'argument $\alpha$
    La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$
    $zz'=2e^{i\frac{\pi}{3}}\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} =2\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)}=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$
  3. Calculer $zz'$ sous forme algébrique.
    $zz'=(1+i\sqrt{3})(1-i)=1+i\sqrt{3}-i-i^2\sqrt{3}=1+\sqrt{3}+i(-1+\sqrt{3})$
  4. En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
    On peut utiliser l'écriture trigonométrique de $zz'$ et la forme algébrique de $zz'$.
    On a $zz'=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$ et $zz'=1+\sqrt{3}+i(-1+\sqrt{3})$
    donc $zz'=2\sqrt{2}\left(cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$
    Les parties réelles et imaginaires doivent être égales donc on a:
    $2\sqrt{2}cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=1+\sqrt{3}$ soit $cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
    et $2\sqrt{2}sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=-1+\sqrt{3}$ soit $sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$


    Penser à contrôler ces résultats avec la calculatrice (réglée en radians...)
Exercice 2 (4 points)
Soit $z=-\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
  1. Montrer que $z^2=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$
    On peut utiliser les identités remarquables avec $a=-\sqrt{2+\sqrt{2}}$ et $b=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ et on a $a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $z^2=\left(-\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2$
    $\phantom{z^2}=\left(-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^2+2\times \left(-\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\left(i\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)+\left(i\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)^2$
    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}-2i\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}-(2-\sqrt{2})$
    $\phantom{z^2}=2+\sqrt{2}-2i\sqrt{2^2-\sqrt{2}^2}-2+\sqrt{2}$
    $\phantom{z^2}=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$
  2. Déterminer la forme exponentielle de $z^2$.

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    Il faut calculer le module de $z^2$
    $\left|z^2\right|=\sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2+\left(-2\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{8+8}=\sqrt{16}=4$
    Si on note $\theta=arg\left(z^2\right)$ ($2\pi$), on a:
    $cos(\theta)=\dfrac{Re\left(z^2\right)}{\left|z^2\right|}=\dfrac{2\sqrt{2}}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    et $sin(\theta)=\dfrac{Im\left(z^2\right)}{\left|z^2\right|}=\dfrac{-2\sqrt{2}}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    Il faut donc résoudre le système suivant $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=-\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$)
  3. En déduire la forme exponentielle de $z$.
    Si on note $\alpha=arg\left(z\right)$ ($2\pi$), on a $2\aplha=\theta+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    Si on pose $z=|z|e^{i\alpha}$ alors $z^2=|z|^2e^{2i\alpha}=4e^{-i\frac{\pi}{4}}$
    donc $|z|^2=4$ soit $|z|=2$
    et $2\alpha=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    $2\alpha=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\Longleftrightarrow \alpha=-\dfrac{\pi}{8}+k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.
    donc la mesure principale de $\alpha$ est:
    $-\dfrac{\pi}{8}$ si $k=0$ ou $\dfrac{-\pi}{8}+\pi=\dfrac{7\pi}{8}$ si $k=1$
    Or $Re(z)<0$ et $Im(z)>0$ donc la mesure principale de $\alpha \in \left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$
    donc $\alpha=\dfrac{7\pi}{8}$ ($2\pi$)
  4. En déduire la forme algébrique de $z^{10}$.
    Il faut utiliser la forme exponentielle de $z$ et déterminer la mesure principale de $\dfrac{70\pi}{8}$
    $z^{10}=\left(2e^{i\frac{7\pi}{8}}\right)^{10}$
    $\phantom{z^{10}}=2^{10}e^{i\frac{70\pi}{8}}$
    $\phantom{z^{10}}=1024e^{i\frac{35\pi}{4}}$
    Mesure principale de $\dfrac{35\pi}{4}$
    $\dfrac{35}{4}=8,75$ donc l'entier pair le plus proche est 8.
    $\dfrac{35\pi}{4}-8\pi=\dfrac{35\pi-32\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$
    $ z^{10}=1024e^{i\frac{3\pi}{4}}=1024\left(cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right)$
    $\phantom{ z^{10}=1024e^{i\frac{3\pi}{4}}}=1024\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    $\phantom{ z^{10}=1024e^{i\frac{3\pi}{4}}}=-512\sqrt{2}+i512\sqrt{2}$
Exercice 3 (4 points)
On considère le polynôme $P$ défini par $P(z) = z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63$.
  1. Montrer qu'il existe 3 réels $a,b,c$ que l'on déterminera tels que $P(z)=(z^2 + 3)(az^2+bz+c)$.
    Il faut développer $(z^2 + 3)(az^2+bz+c)$ et identifier les coefficients pour avoir $(z^2 + 3)(az^2+bz+c)= z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63$ pour tout complexe $z$
    $(z^2 + 3)(az^2+bz+c)=az^4+bz^3+cz^2+3az^2+3bz+3c$
    et $P(z)= z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 3$
    donc par identification des coefficients, on a:
    $\begin{cases} a=1\\ b=-6\\ c+3a=24\\ 3b=-18\\ 3c=63\end{cases}$
    donc $a=1$, $b=-6$ et $c=\dfrac{63}{3}=21$
  2. En déduire les 4 racines complexes de $P$.

    Équations du second degré à coefficients réels


    équation du second degré à coefficients réels
    Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
    - Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
    Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
    Il faut utiliser la forme factorisée de $P(z)$ et un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
    $P(z)=(z^2+3)(z^2-6z+21)=0 \Longleftrightarrow z^2+3=0$ ou $z^2-6z+21=0$
    $z^2+3=0 \Longleftrightarrow z=-3 \Longleftrightarrow z=i\sqrt{3}$ ou $z=-i\sqrt{3}$
    Résolution de $z^2-6z+21=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 1\times 21=36-84=-48$
    $\Delta <0$ donc il y a deux racines complexes conjuguées:
    $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{ 6+ i\sqrt{48} }{ 2 }=\dfrac{ 6+ 4i\sqrt{3} }{ 2 }=3+2i\sqrt{3}$
    et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}=3-2i\sqrt{3}$


    Avec CASIO, MENU EQUA puis POLY DEG 2 et saisir les coefficients $a$, $b$ et $c$
    Attention, l'option complexe doit être activée: SETUP (SHIFT MENU) puis activer le mode complexe
Exercice 4 (6 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé et à tout point $M$ d'affixe $z\neq -i$ on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{z-2}{z+i}$.
On cherche l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $M'$ appartiennent à l'axe des ordonnées.
On note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2$ et $b=-i$.
  1. Méthode algébrique
    1. On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
      Déterminer la partie réelle et imaginaire pure de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.

      Suppression des complexes au dénominateur


      Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
      En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
      soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
      Exemple:
      $z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$
      Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de $z'$ par le conjugué de $x+iy+i$(dénominateur) soit $x-iy-i$
      $z'=\dfrac{x+iy-2}{x+iy+i}$
      $\phantom{z'}=\dfrac{(x+iy-2)(x-iy-i)}{(x+iy+i)(x-iy-i)}$
      $\phantom{z'}=\dfrac{x^2-ixy-ix+ixy-i^2y^2-i^2y-2x+2iy+2i}{x^2+(y+1)^2}$
      $\phantom{z'}=\dfrac{x^2-2x+y^2+y-ix+2iy+2i}{x^2+(y+1)^2}$
      $\phantom{z'}=\dfrac{x^2-2x+y^2+y+i(-x+2y+2)}{x^2+(y+1)^2}$
    2. En déduire que $\mathcal{E}$ est un cercle privé du point $B$ dont on précisera le centre et le rayon.
      $M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $z'$ imaginaire pur si et seulement si $Re(z')=0$
      Rappel: le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
      $M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $z'$ imaginaire pur soit $Re(z')=0$
      $z'\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow Re(z')=0 \Longleftrightarrow \dfrac{x^2-2x+y^2+y}{x^2+(y+1)^2}=0 $
      $\phantom{z'\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow Re(z')=0} \Longleftrightarrow x^2-2x+y^2+y=0 $
      $\phantom{z'\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow Re(z')=0} \Longleftrightarrow (x-1)^2-1+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=0 $
      $\phantom{z'\in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow Re(z')=0} \Longleftrightarrow (x-1)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}$
      $(x-1)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}$ est l'équation du cercle de centre $I\left(1;-\dfrac{1}{2}\right)$ et rayon $r=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
      $B$ a pour affixe $b=-i=0-1i$.
      Avec $x=0$ et $y=-1$ on a:
      $(0-1)^2+\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)^2=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}$ donc $B$ appartient au cercle de centre $I$ et rayon $\dfrac{5}{4}$
      or on a $M\neq B$
  2. Méthode géométrique
    On note $M$ le point d'affixe $z$ avec $z\neq -i$.
    1. Montrer que si $M\in \mathcal{E}$ alors on a $arg\left(\dfrac{z-a}{z-b}\right)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
      L'argument d'un complexe imaginair pur est $\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$) ou $-\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
      $z'=\dfrac{z-2}{z+i}=\dfrac{z-a}{z-b}$
      $z'$ est imaginaire pur
      $\Longleftrightarrow arg(z')=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ ou $arg(z')=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$ ou $z=a$
      $\Longleftrightarrow arg(z')=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$ ou $z=a$
    2. Retrouver alors l'ensemble $\mathcal{E}$ en utilisant la question précédente.
      $\overrightarrow{AM}$ a pour affixe $z-a=z+2$ et $\overrightarrow{BM}$ a pour affixe $z-b=z+i$
      $arg\left(z'\right)=arg\left(\dfrac{z-2}{z+i}\right)=(\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AM})=\dfrac{\pi}{2}$ ($\pi$) Les vecteurs $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont orthogonaux donc $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$


      Le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{2-i}{2}$ donc pour coordonnées $\left(1;\dfrac{-1}{2}\right)$, ce qui correspond bien au point $I$ de la partie 1.
      De plus $AB=|b-a|=|-i-2|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$
      donc le rayon du cercle est $\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et on retrouve le rayon du cercle de la partie 1

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