MATHS-LYCEE
Exercice 1 (3 points)
Pour chacun des nombres suivants, préciser,
parmi les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$le plus petit ensemble auquel il appartient :
- $a = 3,5$
Ensembles de nombres et notations
- Entiers naturels: $\mathbb{N}$
$\mathbb{N}=\lbrace 0;1;2;3;4...\rbrace$
Entiers relatifs: $\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z}=\lbrace .......-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4...\rbrace$
- Nombres décimaux: $\mathbb{D}$
Ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel c'est à dire dont la partie décimale est finie.
Nombres rationnels: $\mathbb{Q}$}
$\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel non nul.
Nombres réels: $\mathbb{R}$}
Pour le moment, tous les nombres utilisés en seconde...
remarque
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Ce qui signifie que $\mathbb{N}$ est contenu (inclus) dans $\mathbb{Z}$ lui-même contenu dans $\mathbb{D}$ lui-même contenu dans $\mathbb{Q}$ lui-même contenu dans $\mathbb{R}$.$a=3,5=\dfrac{35}{10}$ (fraction décimale)
- $b =\dfrac{21}{3}$
- $c=\dfrac{1}{3}$
Ensembles de nombres et notations
- Entiers naturels: $\mathbb{N}$
$\mathbb{N}=\lbrace 0;1;2;3;4...\rbrace$
Entiers relatifs: $\mathbb{Z}$
$\mathbb{Z}=\lbrace .......-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4...\rbrace$
- Nombres décimaux: $\mathbb{D}$
Ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a$ entier relatif et $n$ entier naturel c'est à dire dont la partie décimale est finie.
Nombres rationnels: $\mathbb{Q}$}
$\mathbb{Q}$ est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a$ entier relatif et $b$ entier naturel non nul.
Nombres réels: $\mathbb{R}$}
Pour le moment, tous les nombres utilisés en seconde...
remarque
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Ce qui signifie que $\mathbb{N}$ est contenu (inclus) dans $\mathbb{Z}$ lui-même contenu dans $\mathbb{D}$ lui-même contenu dans $\mathbb{Q}$ lui-même contenu dans $\mathbb{R}$.La partie décimnale est-elle finie?La division $1\div 3$ est infinie
donc la partie décimale de $c$ est infinie
- $d=\dfrac{2\sqrt{2}-4}{4\sqrt{2}-8}$
Exercice 2 (4 points)
Compléter dans chaque cas:
- $-3 < x < 5$
$x\in ]....;...[$
$x$ appartient à l'intervalle .......... de centre $c=...$ et rayon $r=...$Notations des intervalles et inégalités
Liens entre axe gradué, inégalités et notations des intervalles
$c=\dfrac{-3+5}{2}=1$ et $r=d(1;5)=|5-1|=4$
- $x$ appartient à l'intervalle fermé de centre $-3$ et rayon $\dfrac{2}{3}$
$........\leq x \leq .......$
$|x-......| \leq .....$Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$
Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
On veut $AM \leq r$.
L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.
donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$$-3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-9}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{-11}{3}$
$-3+\dfrac{2}{3}=\dfrac{-9}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{-7}{3}$
- $|x+2| < 5$
$x\in ]....;....[$
$d(x;.....) < ......$
Exercice 3 (3 points)
Dans chaque cas, écrire l'intervalle $I$ correspondant à la première inégalité puis l'intervalle $J$ correspondant à la seconde inégalité puis donner $I\cap J$ et $I\cup J$
- $x\leq 2$
$-5 \leq x < 3$Notations des intervalles et inégalités
Liens entre axe gradué, inégalités et notations des intervalles
Intersection et réunion de deux intervalles
$I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$
$I\cap J$ est l'intersection des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$
$I\cup J$ est la réunion des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ou bien à $J$
Exemple: $I=[-1;4]$ et $J=]-5;2[$
alors $I\cap J=[-1;2[$
et $I\cup J=]-5;4]$
Remarque: On peut représenter ces deux intervalles sur un axe gradué pour déterminer leur réunion et leur intersection.On peut utiliser un axe gradué$x\leq 2$
$-5 \leq x < 3$
Sur la figure ci-dessous on a représenté $I$ en rouge et $J$ en orange.
- $x\geq -2$
$x < 3$Intersection et réunion de deux intervalles
$I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$
$I\cap J$ est l'intersection des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$
$I\cup J$ est la réunion des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ou bien à $J$
Exemple: $I=[-1;4]$ et $J=]-5;2[$
alors $I\cap J=[-1;2[$
et $I\cup J=]-5;4]$
Remarque: On peut représenter ces deux intervalles sur un axe gradué pour déterminer leur réunion et leur intersection.On peut utiliser un axe gradué$x\geq -2$
$x < 3$
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