$2x-3$ s'annule pour $x=\dfrac{3}{2}$
et $1-3x$ s'annule pour $x=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}$

donc $(2x-3)(1-3x) <0$ (zone bleue) pour $x\in \left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right[\cup \left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[$
$S=\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right[\cup \left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[$

$(x-2)^2 \leq (x-2)(1-5x) \Longleftrightarrow (x-2)^2 - (x-2)(1-5x)\leq 0$
$\phantom{(x-2)^2 \leq (x-2)(1-5x)} \Longleftrightarrow (x-2)\left[(x-2) - (1-5x)\right]\leq 0$
$\phantom{(x-2)^2 \leq (x-2)(1-5x)} \Longleftrightarrow (x-2)\left[x-2 - 1+5x\right]\leq 0$
$\phantom{(x-2)^2 \leq (x-2)(1-5x)} \Longleftrightarrow (x-2)\left[6x-3\right]\leq 0$
$x-2$ s'annule pour $x=2$
$6x-3$ s'annule pour $x=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

donc $(x-2)\left[6x-3\right]\leq 0$ (zone bleue) pour $x\in \left[ \dfrac{1}{2};2\right]$
$ S=\left[\dfrac{1}{2};2\right]$

$x-1 < \dfrac{1}{x-1}\Longleftrightarrow x-1 - \dfrac{1}{x-1} < 0$
$\phantom{x-1 < \dfrac{1}{x-1}}\Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)(x-1)}{x-1} - \dfrac{1}{x-1} < 0$
$\phantom{x-1 < \dfrac{1}{x-1}}\Longleftrightarrow \dfrac{(x-1)^2 - 1}{x-1} < 0$
$\phantom{x-1 < \dfrac{1}{x-1}}\Longleftrightarrow \dfrac{x^2-2x+1-1}{x-1} < 0$
$\phantom{x-1 < \dfrac{1}{x-1}}\Longleftrightarrow \dfrac{x^2-2x}{x-1} < 0$
$\phantom{x-1 < \dfrac{1}{x-1}}\Longleftrightarrow \dfrac{x(x-2)}{x-1} < 0$
$x$ s'annule pour $x=0$
$x-2$ s'annule pour $x=2$
$x-1$ s'annule pour $x=1$

$\dfrac{x(x-2)}{x-1} < 0$ (zone bleue) pour $x\in ]-\infty;0[\cup ]1;2[$
$S=]-\infty;0[\cup ]1;2[$

Graphiquement, $\dfrac{5}{2}$ admet une seul antécédent par $f$.

L'antécédent de $\dfrac{5}{2}$ par $f$ est $4$.
$f(4)=4-1-\dfrac{2}{4}=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$ ce qui correspond bien à la valeur souhaitée.

$f(x)=x-1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{x(x-1)-2}{x}=\dfrac{x^2-x-2}{x}$
$(x-2)(x+1)=x^2-2x+x-2=x^2-x-2$
donc $f(x)=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x}$

$x>0$ donc $x+1>0$
On a donc $x+1 > 0$ et $x > 0$ donc $f(x)$ est du signe de $x-2$
$x-2$ s'annule pour $x=2$

donc $f(x) < 0$ (zone bleue) pour $x\in ]0;2[$
$S=]0;2[$

Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x) < 0$ sont les abscisses (en vert) des points (en bleu) de $C_f$ situés strictement en-dessous de l'axe des abscisses.

On a bien $f(x) < 0$ pour $x\in ]0;2[$

$(x - 6)(x -1)=x^2-6x-x+6=x^2-7x+6$
donc on a bien $(x - 6)(x -1) = x^2 -7x + 6$ pour tout réel $x$.

$x-6$ s'annule pour $x=6$
$x-1$ s'annule pour $ x=1$

On a deux rectangles (rouge et bleu sur la figure):

L'aire de la croix est la somme des aires des rectangles rouge et bleu (voir figure) à laquelle on enlève l'aire (comptée deux fois) du carré vert de côté $x$.
soit $4x+3x-x^2=-x^2+7x$
$A=-x^2+7x$

L'aire restante est égale à l'aire du rectangle à laquelle on enlève l'aire de la croix soit:
$4\times 3 -(-x^2+7x)=12+x^2-7x$
$A'=x^2-7x+12$

L'aire de la zone blanche est $A=-x^2+7x$
et celle de la zone grise est $A'=x^2-7x+12$
On veut que l'aire de la croix reste inférieure ou égale à l'aire restante soit:
$-x^2+7x \leq 12+x^2-7x \Longleftrightarrow 0 \leq 2x^2-14x+12 \Longleftrightarrow 0\leq x^2-7x+6$
$-x^2+7x \leq 12+x^2-7x 0\leq x^2-7x+6$

Il faut donc résoudre l'inéquation $0\leq x^2-7x+6$
$ x^2-7x+6= (x-6)(x-1)$
donc $0\leq x^2-7x+6\Longleftrightarrow 0\leq (x-6)(x-1)$
donc d'après le tableau de signes de la question 2., l'ensemble de solution
de l'inéquation $0\leq x^2-7x+6$ est $S=]-\infty;1]\cup [6;+\infty[$
Or $x$ doit être supérieur ou égal à $0,5$m et la valeur maximale de $x$ est 3 mètres
donc finalement $x\in [0,5;1]$}