Exercice 1 (8 points)
  1. Par lecture graphique, donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ et du point $A$.

    Coordonnées d'un vecteur


    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

    Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$
    il faut déterminer le déplacement selon l'axe des abscisses et selon l'axe des ordonnées entre l'origine et l'extrémité du vecteur

  2. Dans ce repère, construire le vecteur $\overrightarrow{v}(-3;-2)$.
  3. $B$ est tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.
    Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et en déduire les coordonnées de $B$.

    Coordonnées de la somme et du produit par un réel


    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x';y')$ alors:
    $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=x'\\ y=y' \end{cases}$
    $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}(x+x';y+y')$
    $k\overrightarrow{u}(kx;ky)$
    Il faut ajouter les coordonnées des deux vecteurs
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow {w}} = x_{\overrightarrow {u}} +x_{\overrightarrow {v}}=2+(-4)=-2 \\ y_{\overrightarrow {w}} = y_{\overrightarrow {u}} +y_{\overrightarrow {v}}=-4+(-2)=-6 \end{cases}$


    $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}$
    donc $\begin{cases} x_B-x_A=x_{\overrightarrow{w}}\\ y_B-y_A=y_{\overrightarrow{w}} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} x_B-(-3)=-2\\ y_B-(-2)=-6 \end{cases}$
    $ \Longleftrightarrow \begin{cases} x_B=-5\\ y_B=-4 \end{cases}$
  4. Construire le point $B$ en utilisant la relation vectorielle $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et contrôler le résultat de la question précédente.

    Somme de deux vecteurs


    Si on a $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$, la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}$.

    Figures de base:

    Il faut déterminer l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ suivie de la translation de vecteur $\overrightarrow{v}$.
  5. Construire le vecteur $\overrightarrow{t}$ tel que $\overrightarrow{t}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ puis calculer les coordonnées de $\overrightarrow{t}$.

    Coordonnées de la somme et du produit par un réel


    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x';y')$ alors:
    $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=x'\\ y=y' \end{cases}$
    $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}(x+x';y+y')$
    $k\overrightarrow{u}(kx;ky)$
    Il faut déterminer l'image de $A$ par la translation de vecteur $-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$ suivie de la translation de vecteur $2\overrightarrow{v}$.
    .

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{t}}=-\dfrac{1}{2}x_{\overrightarrow{u}}+2x_{\overrightarrow{v}}=\dfrac{-1}{2}\times 2+2\times (-3)=-7\\ y_{\overrightarrow{t}}=-\dfrac{1}{2}y_{\overrightarrow{u}}+2y_{\overrightarrow{v}}=\dfrac{-1}{2}\times (-4)+2\times (-2)=-2 \end{cases}$

    penser à contrôler les coordonnées de $\overrightarrow{t}$ sur le graphique.
Exercice 2 (12 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On donne les points $A(2;3)$, $B(-4;1)$, $C(1;-1)$ et $E(-7;0)$.
On fera une figure et on placera les éléments obtenus à chacune des des questions.
  1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis du vecteur $\overrightarrow{BC}$.

    Coordonnées d'un vecteur


    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$

    Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$
    calculs avec les signes $-$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A= -4-2=-6\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A= 1-3=-2 \end{cases}$

    penser à contrôler les coordonnées obtenues sur le graphique
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}}=x_C-x_B= 1-(-4)=5\\ y_{\overrightarrow{BC}}=y_C-y_B= -1-1=-2 \end{cases}$

    Contrôle graphique:
  2. Calculer les coordonnées de $D$ pour que $ABDC$ soit un parallélogramme.
    On veut que les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ soient égales.
    $ABDC$ est un parallélogramme donc $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (coordonnées égales)
    $ \begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_D-x_C \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_D-y_C \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2=x_D-1\\ -2=y_D-(-1) \end{cases}$

    $ \phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_D-x_C \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_D-y_C \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} -2+1=x_D \\ -2-1=y_D \end{cases}$

    $ \phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_D-x_C \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_D-y_C \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} -1=x_D\\ -3=y_D \end{cases}$

    Contrôle graphique:
  3. Calculer les coordonnées du point $F$ tel que $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA}$

    es coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{CA}$ sont égales
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{CA}}=x_A-x_C= 2-1=1 \\ y_{\overrightarrow{CA}}=y_A-y_C= 3-(-1)=4 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{CA}(1;4)$
    $ \begin{cases} x_{\overrightarrow{CF}}=x_{\overrightarrow{BC}}+2x_{\overrightarrow{CA}}\\ y_{\overrightarrow{CF}}=y_{\overrightarrow{BC}}+2y_{\overrightarrow{CA}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_F-x_C=5+2\times 1\\ y_F-y_C=-2+2\times 4 \end{cases}$

    $\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{CF}}=x_{\overrightarrow{BC}}+2x_{\overrightarrow{CA}}\\ y_{\overrightarrow{CF}}=y_{\overrightarrow{BC}}+2y_{\overrightarrow{CA}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_F-1=7\\ y_F-(-1)=6 \end{cases}$

    $\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{CF}}=x_{\overrightarrow{BC}}+2x_{\overrightarrow{CA}}\\ y_{\overrightarrow{CF}}=y_{\overrightarrow{BC}}+2y_{\overrightarrow{CA}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_F-1=7\\ y_F-(-1)=6 \end{cases}$

    $\phantom{\begin{cases} x_{\overrightarrow{CF}}=x_{\overrightarrow{BC}}+2x_{\overrightarrow{CA}}\\ y_{\overrightarrow{CF}}=y_{\overrightarrow{BC}}+2y_{\overrightarrow{CA}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_F=8\\ y_F=6-1=5 \end{cases}$

    Contrôle graphique:
  4. Montrer que les points $E$, $B$ et $F$ sont alignés.
    include67flude
    Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EB}$ et $\overrightarrow{EF}$ (ou bien $\overrightarrow{BF}$)
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{EB}}=x_B-x_E= -4-(-7)=3 \\ y_{\overrightarrow{EB}}=y_B-y_E= 1-0=1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{EB}(3;1)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BF}}=x_F-x_B= 8-(-4)=12 \\ y_{\overrightarrow{BF}}=y_F-y_C=5-1=4 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{BF}(12;4)$
    $x_{\overrightarrow{EB}}\times y_{\overrightarrow{BF}}-y_{\overrightarrow{EB}}\times x_{\overrightarrow{BF}}=3\times 4-1\times 12=12-12=0$
    donc $\overrightarrow{EB}$ et $\overrightarrow{BF}$ sont colinéaires
  5. $M(x;0)$ est un point de la droite $(BC)$.
    Calculer $x$.
    Les points $M$, $B$ et $C$ sont alignés donc les vecteurs $\overrightarrow{EB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BM}}=x_M-x_B= x-(-4)=x+4\\ y_{\overrightarrow{BM}}=y_M-y_B= 0-1=-1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{BM}(x+4;-1)$
    et on a $\overrightarrow{BC}(5;-2)$.
    $M \in (BC)$ donc $B$, $C$ et $M$ sont alignés et les vecteurs $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{BC}$ par exemple sont colinéaires. $x_{\overrightarrow{BC}}\times y_{\overrightarrow{BM}}-y_{\overrightarrow{BC}}\times x_{\overrightarrow{BM}}=0 \Longleftrightarrow 5\times (-1)-(-2)\times (x+4)=0$
    $\phantom{x_{\overrightarrow{BC}}\times y_{\overrightarrow{BM}}-y_{\overrightarrow{BC}}\times x_{\overrightarrow{BM}}=0} \Longleftrightarrow -5+2\times (x+4)=0$
    $\phantom{x_{\overrightarrow{BC}}\times y_{\overrightarrow{BM}}-y_{\overrightarrow{BC}}\times x_{\overrightarrow{BM}}=0} \Longleftrightarrow -5+2x+8=0$
    $\phantom{x_{\overrightarrow{BC}}\times y_{\overrightarrow{BM}}-y_{\overrightarrow{BC}}\times x_{\overrightarrow{BM}}=0} \Longleftrightarrow 2x=-3$
    $\phantom{x_{\overrightarrow{BC}}\times y_{\overrightarrow{BM}}-y_{\overrightarrow{BC}}\times x_{\overrightarrow{BM}}=0} \Longleftrightarrow x=\frac{-3}{2}$

    Contrôle graphique:

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Vecteurs et parallélogrammes dans un repère

- montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme dans un repère
- calculer les coordonnées du quatrième sommet d'un parallélogramme
- coordonnées du symétrique d'un point


infos: | 10-15mn |

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