Exercice 1 (4 points)
$ABCD$ et $BCFE$ sont deux parallélogrammes (voir figure ci-dessous).

- $G$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}$.
Construire $G$.
Quelle est la nature du quadrilatère $BGCD$?Image d'un point par une translation
$D$ est l'image de $C$ par la translation transformant $A$ en $B$ si $ABDC$ est un parallélogramme.
$D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
$A$ est l'origine et $B$ l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Vecteurs égaux
Les vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{CD}$ sont égaux
si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
Il faut construire le point $G$ tel que $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{DC}$.
$G$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}$
donc $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BG}$
- Quelle est la nature du quadrilatère $AEFD$?
On a $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$$ABCD$ parallélogramme
donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
$BCFE$ parallélogramme
donc $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$
On a donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$
donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EF}$
Exercice 2 (6 points)

- Sur la figure ci-dessus, construire le vecteur $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$
Somme de deux vecteurs
Si on a $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$, la somme des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}$.
Figures de base:
Produit d'un vecteur par un réel
Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
$k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
$k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
$||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$
Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
- Construire le point $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{v}$
- En utilisant les points de la figure, compléter $\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{....}$
puis $ \overrightarrow{HF}-\overrightarrow{JG}=\overrightarrow{....}$Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
On peut remplacer $\overrightarrow{IJ}$ par $\overrightarrow{AF}$
et $-\overrightarrow{JG}$ par $\overrightarrow{FI}$$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AG}$
$ \overrightarrow{HF}-\overrightarrow{JG}$
$ =\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{GJ}$
$= \overrightarrow{HF}+\overrightarrow{GJ}$
$= \overrightarrow{HF}+\overrightarrow{FI}$
$=\overrightarrow{HI}$
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