Exercice 1 (4 points)
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2+12x+15$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
  1. Déterminer la forme canonique de $f$ puis dresser son tableau de variation.

    Forme canonique


    Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
    Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$
    Il faut déterminer les coordonnées du sommet de la parabole et le signe du coefficient de $x^2$ pour dresser le tableau de variation de $f$.
    On a ici $a=-3$, $b=12$ et $c=15$
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-12}{-6}=2$
    $\beta=f(\alpha)=-3\times 2^2+12\times 2+15=27$
    $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=-3(x-2)^2+27$


    Penser à contrôler l'expression obtenue avec le MENU TABLE en saisissant Y1$=-3x^2+12x+15$ puis Y2$=-3(x-2)^2+27$ et en comparant les deux tableaux de valeurs.
    Si le résultat est correct, celui de Y1 et celui de Y2 doivent être identiques.
    Le coefficient $a$ de $x^2$ est négatif (parabole orientée vers le "bas") donc on a:
  2. Déterminer les solutions de l'équation $f(x)=0$

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    Il faut calculer le discriminant $\Delta$ pour résoudre cette équation.
    $f(x)=0\Longleftrightarrow -3x^2+12x+15=0$
    $\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow -x^2+4x+5=0$ (en divisant chaque membre par 3)
    $\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times (-1)\times 5=16+20=36$
    $\Delta>0$ donc il y a deux solutions
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -4+6 }{-2 }=\dfrac{2}{-2}=-1$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -4- -6 }{-2 }=\dfrac{-10}{-2}=5$

    Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice

    L'abscisse $\alpha$ du sommet de la parabole correspond à l'abscisse du milieu du segment formé par les points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    On doit donc avoir $\dfrac{x_1+x_2}{2}=\alpha$
  3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des ordonnées.
    Si le point aappartient à l'axe des ordonnées alors son abscisse est égale à $0$
    $f(0)=-3\times 0^2+12\times 0+15=15$
  4. Donner l'allure de $C_f$ en mettant en évidence les résultats des questions précédentes.
    Il faut placer les points $A(0;15)$, $B(-1;0)$ et $C(5;0)$ et $S(2;27)$. Rappel: un repère orthogonal est un repère dont les axes sont orthogonaux mais les unités sur chacun des deux axes sont différentes
    D'après la question 1, le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(2;27)$.
    D'après la question 2, la parabole coupe l'axe des abscisses aux points $B(-1;0)$ et $C(5;0)$.
    D'après la question 3, la parabole coupe l'axe des ordonnées en $A(0;15)$.
    On peut donc choisir 1cm pour unité sur l'axe des abscisses par exemple et 1cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées.
Exercice 2 (4 points)
Résoudre les équations suivantes
  1. $16x^2+5=0$
    On a ici $b=0$ donc on peut éviter de calculer $\Delta$
    $16x^2+5=0\Longleftrightarrow x^2=\dfrac{-5}{16}$
    $x^2 \geq 0$ donc cette équation n'admet aucune solution.
  2. $2x^2-7x=0$
    On a ici $c=0$ donc on peut factoriser le membre de gauche
    $2x^2-7x=0\Longleftrightarrow x(2x-7)=0$
    $\phantom{2x^2-7x=0}\Longleftrightarrow x=0$ ou $2x-7=0$
    $\phantom{2x^2-7x=0}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=\dfrac{7}{2}$

    Penser à contrôler les solutions avec le MENU EQUATIONS de la calculatrice (voir tutoriel vidéo réf 642)
  3. $(2x-3)^2+4(x-1)=8-19x$
    Il faut développer et simplifier pour se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$
    $(2x-3)^2+4(x-1)=8-19x\Longleftrightarrow 4x^2-2\times 2x\times 3+9+4x-4=8-19x$
    $\phantom{(2x-3)^2+4(x-1)=8-19x}\Longleftrightarrow 4x^2-12x+9+4x-4-8+19x=0$
    $\phantom{(2x-3)^2+4(x-1)=8-19x}\Longleftrightarrow 4x^2+11x-3=0$
    $\Delta=b^2-4ac=11^2-4\times 4\times (-3)=169$
    $\Delta>0$ donc il y a deux solutions
    $X_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -11+ \sqrt{169} }{8 }=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$
    et $X_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -11- \sqrt{169} }{8 }=\dfrac{-24}{8}=-3$
Exercice 3 (2 points)
On donne ci-dessous la parabole représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

Déterminer l'expression de $f$.

Forme factorisée


- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet une racine $x_1$
alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)^2$

- Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) n'admet aucune racine
alors la forme factorisée de $P$ n'existe pas
En lisant les abscisses des points d'intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses, on peut utiliser la forme factorisée $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$
En utilisant les coordonnées du sommet, on utilise la forme canonique
La parabole coupe l'axe des abscisses en $x_1=-2$ et $x_2=6$ et a pour sommet $S(2;8)$
Méthode 1: avec le sommet.
$S(2;8)$ est le sommet de la parabole donc la forme canonique de $f$ est $f(x)=a(x-2)^2+8$
La parabole coupe l'axe des ordonnées en $y=6$ donc $f(0)=6$
$f(0)=a(0-2)^2+8=4a+8$
$f(0)=6\Longleftrightarrow 4a+8=6\Longleftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}$

Méthode 2: avec les racines.
La parabole coupe l'axe des abscisses aux points $A(-2;0)$ et $B(6;0)$
donc les racines de $f$ sont $x_1=-2$ et $x_2=6$
La forme factorisée de $f$ est donc $f(x)=a(x-(-2))(x-6)=a(x+2)(x-6)$
La parabole coupe l'axe des ordonnées au point $C(0;6)$
donc $f(0)=a(0+2)(0-6)=-12a=6$ soit $a=\dfrac{6}{-12}=\dfrac{-1}{2}$

Fiche méthode


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Résolution d'équation commentées pas à pas

- exemples types d'équations pas à pas


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