Exercice 1 (3 points)
Pour chaque question, une seule réponse est juste.
Vous répondrez sur la copie en notant la lettre correspondant à votre réponse.
Chaque question est notée sur 1 point.
Une réponse fausse enlève 0,5 point et l'absence de réponse donne 0 point.
Si le total des points est négatif, l'exercice est noté sur 0 point.
  1. La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(x)=2(x+3)^2+12$.
    La parabole représentant $f$ a pour sommet
    a. $S(3;12)$
    b. $ S(-3;-12)$
    c. $S(-3;12)$

    Forme canonique


    Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
    Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$
    Identifier $\alpha$ et $\beta$ dans la forme canonique donnée ci-dessus.
    On veut avoir dans les parenthèses $x-\alpha$
    $f$ est donnée sous forme canonique soit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-3$ et $\beta=12$.
    $f(x)=2(x-(-3))^2+12$
    Le sommet de la parabole a donc pour abscisse $\alpha=-3$ et $\beta=12$
  2. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(x)=x^2-x+3$ est de signe
    a. positif
    b. négatif
    c. on ne peut pas le savoir

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Déterminer s'il y en a les racines du polynôme pour connaître son signe.
    On a $\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times 3=-11$ donc il n'y a aucune racine
    donc $f(x)$ est du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
  3. La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(x)=2x^2-16x+14$ a pour forme factorisée
    a. $f(x)=2(x-1)(x-7)$
    b. $ f(x)=(x-1)(x-7)$
    c. $ f(x)=2(x+1)(x+7)$

    Forme factorisée


    - Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet deux racines $x_1$ et $x_2$
    alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

    - Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) admet une racine $x_1$
    alors la forme factorisée de $P$ est $P(x)=a(x-x_1)^2$

    - Si le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a\neq 0$) n'admet aucune racine
    alors la forme factorisée de $P$ n'existe pas
    On peut déterminer les racines de $f(x)$ pour écrire la forme factorisée
    On peut aussi développer chacune des expressions proposées
    $\Delta=b^2-4ac=(-16)^2-4\times 2\times 14=144$
    Les racines de $f$ sont $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=1$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=7$


    On peut développer chacune des expressions proposées pour déterminer laquelle est égale à $f(x)$.
Exercice 2 (4 points)
  1. Déterminer les racines du polynôme $x^2-6x+5$.

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    Il faut calculer le discriminant $\Delta$
    aux signes $-$ dans les calculs
    On a ici $a=1$, $b=-6$ et $c=5$.
    $\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times 1\times 5=36-20=16$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 6+ 4 }{2 }=5$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 6- 4 }{ 2 }=1$
  2. En utilisant le résultat précédent, résoudre l'inéquation $\dfrac{x^2-6x+5}{3-x}\leq 0$
    Il faut faire le tableau de signes du quotient
    Les deux racines à placer dans le tableau sont $x_1=5$ et $x_2=1$.
    $3-x=0 \Longleftrightarrow x=3$
    Le dénominateur s'annule pour $x=3$ donc on résout sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 3 \rbrace$.

    On a donc $\dfrac{x^2-6x+5}{3-x}\leq 0$ (zone rouge) quand $x\in [1;3[\cup [5;+\infty[$
Exercice 3 (5 points)
On donne ci-dessous la parabole $\mathcal{P}$ représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
  1. A l'aide du graphique, déterminer les coefficients $a$, $b$ et $c$ de $f$ tels que $f(x)=ax^2+bx+c$ (On pourra d'abord chercher la forme canonique).
    On peut utiliser les coordonnées du sommet de la parabole pour déterminer la forme canonique
    Pour déterminer le coefficient $a$, on peut utiliser le fait que la parabole passe par le point de coordonnées $(0;-11)$ donc on a $f(0)=-11$
    Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(3;7)$
    donc $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=3$ et $\beta=7$

    donc $f(x)=a(x-3)^2+7$
    $\mathcal{P}$ coupe l'axe des ordonnées au point $A(0;-11)$ donc $f(0)=-11$
    $f(0)=-11\Longleftrightarrow a(0-3)^2+7=-11$
    $\phantom{f(0)=-11}\Longleftrightarrow 9a=-18$
    $\phantom{f(0)=-11}\Longleftrightarrow a=-2$

    Recherche de la forme développée
    $f(x)=-2(x-3)^2+7=-2(x^2-6x+9)+7$
    $\phantom{f(x)=-2(x-3)^2+7}=-2x^2+12x-18+7$
    $\phantom{f(x)=-2(x-3)^2+7}=-2x^2+12x-11$
  2. On donne $f(x)=-2x^2+12x-11$.
    Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 5$.
    Expliquer comment contrôler graphiquement le résultat obtenu?
    Il faut se ramener à une inéquation de la forme $ax^2+bx+c\geq 0$
    $f(x)\geq 5 \Longleftrightarrow -2x^2+12x-11\geq 5$
    $\phantom{f(x)\geq 5} \Longleftrightarrow -2x^2+12x-11-5\geq 0$
    $\phantom{f(x)\geq 5} \Longleftrightarrow -2x^2+12x-16\geq 0$
    $\phantom{f(x)\geq 5} \Longleftrightarrow -x^2+6x-8\geq 0$ (on peut diviser les deux membres de l'inégalité par 2)
    Recherche des racines de $-x^2+6x-8$
    $\Delta=b^2-4ac=6^2-4\times (-1)\times (-8)=4$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6 + 2 }{ -2 }=2$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -6-2 }{-2 }=4$
    Etude du signe de $-x^2+6x-8$

    donc $f(x)\geq 5$ soit $-x^2+6x-8\geq 0$ (zone rouge) pour $x\in [2;4]$

    On peut contrôler le résultat graphiquement en traçant la droite $d$ d'équation $y=5$ et en cherchant les abscisses(en vert) des points de $\mathcal{P}$ (en orange) situés au-dessus de la droite $d$.
Exercice 4 (8 points)
Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-0,005x^2+0,6x-10$.
  1. Dresser le tableau de variations de $f$.

    Variations fonction polynôme du second degré


    Soit la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $P (x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$
    La courbe représentative de $P$ est une parabole dont le sommet a pour coordonnées $(\alpha; \beta)$.
    Tableau de variation:
    On peut chercher les coordonnées du sommet de la parabole pour déterminer la forme canonique
    Le sens de variation de $f$ dépend du signe du coefficient $a$ de $x^2$
    On a ici $a=-0,005$, $b=0,6$ et $c=-10$.
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-0,6}{-0,01}=60$
    $\beta=f(60)=-0,005\times 60^2+0,6\times 60-10=8$
    On a de plus $a=-0,005$ négatif donc le tableau de variations de $f$ est le suivant:

  2. Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 0$.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Il faut chercher les racines de $f(x)=-0,005x^2+0,6x-10$ pour faire le tableau de signes
    $\Delta=b^2-4ac=0,6^2-4\times (-0,005)\times (-10)=0,16$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -0,6+ \sqrt{0,16} }{ -0,01 }=20$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-0,6 - \sqrt{0,16} }{ -0,01 }=100$

    donc $f(x)\geq 0$ (zone rouge) pour $x\in [20;100]$ (zone jaune)


Partie B
Une entreprise fabrique et vend des ordinateurs portables.
Le coût de fabrication de $x$ ordinateurs est donné par la fonction $C$ définie par $C(x)=0,005x^2+0,4x+10$, ce coût est exprimé en milliers d'euros.
L'entreprise produit entre 0 et 200 ordinateurs par jour et chaque ordinateur est vendu 1000 euros.
On suppose que toute la production est vendue.
  1. On note $R(x)$ la recette, en milliers d'euros, engendrée par la vente de $x$ ordinateurs.
    Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
    Chaque machine est vendue 1 000 euros soit 1 millier d'euros.
    Chaque ordinateur est vendu 1000 euros donc la recette engendrée par la vente de $x$ ordinateurs est de $1000x$ euros soit $x$ milliers d'euros
  2. Montrer que le bénéfice, en milliers d'euros, est donné par la fonction $B$ définie sur $[0;200]$ par $B(x)=f(x)=-0,005x^2+0,6x-10$.
    Le bénéfice est égal à la recette diminuée du coût de fabrication.
    $B(x)=R(x)-C(x)=x-(0,005x^2+0,4x+10)$
    $\phantom{B(x)=R(x)-C(x)}=x-0,005x^2-0,4x-10$
    $\phantom{B(x)=R(x)-C(x)}=-0,005x^2+0,6x-10$
  3. En utilisant les résultats de la partie A, répondre aux questions suivantes:
    - déterminer le bénéfice maximum de l'entreprise.
    - déterminer la quantité d'ordinateurs à fabriquer pour que l'entreprise fasse du bénéfice
    On veut déterminer le maximum de la fonction $f$ (voir tableau de variations)
    On veut $B(x)\geq 0$
    Le maximum de $f$ est 8 (en milliers d'euros) atteint pour $x=60$

    On veut résoudre l'inéquation $B(x)\geq 0$.
    On a $f(x)\geq 0$ pour $x\in [20;100]$

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