1. spécialité maths première
  2. chapitre
  3. devoir corrigé nº734
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Exercice 1 (4 points)
  1. La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison $-2$.
    Calculer $u_1$ et $u_2$ et exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

    Rappel de cours

    Forme explicite d'une suite arithmétique

    Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$

    Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$

    Aide

    On ajoute $r=-2$ pour obtenir le terme suivant.

    Solution

    $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$ donc $u_{n+1}=u_n-2$
    $u_1=u_0-2=3-2=1$
    $u_2=u_1-2=1-2=-1$

    $u_n=u_0+n\times r=3-2n$
  2. $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=2$ et raison $3$.
    Calculer $v_1$ et $v_2$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

    Rappel de cours

    Forme explicite d'une suite géométrique

    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

    Aide

    On multiplie par $q=3$ pour obtenir le terme suivant.

    Solution

    $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ donc $v_{n+1}=v_n\times 3$
    $v_1=v_0\times 3=2\times 3=6$
    $v_2=v_1\times 3=6\times 3=18$

    $v_n=v_0\times q^n=2\times 3^n$
  3. $(w_n)$ est une suite arithmétique telle que $w_8=25$ et $w_{14 }=40$
    Déterminer la raison $r$ de la suite $(w_n)$ et exprimer $w_n$ en fonction de $n$.

    Aide

    Il faut utiliser le fait que pour passer de $w_8$ à $w_{14}$ il faut ajouter $14-8=6$ fois la raison.

    Solution

    $w_{14}=w_8+(14-8)\times r \Longleftrightarrow 40=25+6r$
    $\phantom{w_{14}=w_8+(14-8)\times r} \Longleftrightarrow 15=6r$
    $\phantom{w_{14}=w_8+(14-8)\times r} \Longleftrightarrow r=\dfrac{15}{6}$
    $\phantom{w_{14}=w_8+(14-8)\times r} \Longleftrightarrow r=\dfrac{5}{2}$

    On a alors $w_n=w_8+(n-8)r$
    $w_n=25+(n-8)\times \dfrac{5}{2}$
    $\phantom{w_n}=25+n\times \dfrac{5}{2}-20$
    $\phantom{w_n}=5+n\times \dfrac{5}{2}$
Exercice 2 (6 points)
Une entreprise fabrique des ordinateurs portables et afin de répondre à la demande, elle augmente sa production de 2% chaque année. On note $p_n$ la quantité d'ordinateurs, en centaines, fabriqués l'année $2013+n$ et en 2013, 23400 ordinateurs avaient été fabriqués.
  1. Déterminer $p_0$

    Aide

    $p_n$ représente la quantité d'ordinateurs en $2013+n$ et on a $n=0$
    la quantité est en centaines

    Solution

    $p_0$ représente la quantité, en centaines, d'ordinateurs fabriqués en $2013+0=2013$.
    En 2013, 23400 ordinateurs ont été fabriqués soit 234 centaines.
  2. Calculer la quantité $p_1$ d'ordinateurs fabriqués en 2014.

    Rappel de cours

    Coefficient multiplicateur

    Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
    Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

    Aide

    Chaque année, la quantité produite augmente de 2% et est donc multipliée par $1+\dfrac{2}{100}$

    Solution

    Augmenter une valeur de 2% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{2}{100}$
    donc $p_1=234\times 1,02=238,68$.
  3. Justifier que $(p_n)$ est une suite géométrique et donner sa forme explicite.

    Rappel de cours

    Suite géométrique

    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

    Aide

    Il faut montrer que pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=qp_n$

    Solution

    Chaque année, on multiplie la production par 1,02 donc $p_{n+1}=1,1p_n$

    On a aussi $p_0=234$ donc $p_n=p_0\times q^n=234\times 1,02^n$
  4. Calculer la quantité d'ordinateurs produite en 2020 arrondie à l'unité.

    Aide

    $2020=2013+7$ donc on a $n=7$

    Solution

    $2013+7=2020$ donc la quantité produite en 2020 correspond à $p_7$.
    $p_7=234\times 1,02^7\approx 268,792$
    Il faut arrondir à l'unité soit $p_7$ aux centièmes
  5. En utilisant la calculatrice, déterminer à partir de quelle année, la quantité produite dépassera 30 000 ordinateurs.

    Aide

    On peut utiliser la calculatrice menu suites ou bien le menu TABLE.

    Solution

    CASIO: avec le menu RECUR de la calculatrice et type $a_{n}$ saisir l'expression de la suite puis dans SET paramétrer le début des indices et la fin
    TI Premium: MODE puis surligner SUITES (4ième ligne) puis $ f(x)$.
    Saisir $n_{min}=0$, $U(n)$ puis TABLE pour afficher les résultats
    NumWorks: MENU SUITES puis Ajouter et sélectionner $u_{n}$
    puis saisir $u_n$
    On obtient $p_{12}\approx 296,8$ et $p_{13}\approx 302,7$
    donc il faut $n\geq 13$