MATHS-LYCEE.FR maths devoir corrigé chapitre

Exercice 1 (7 points)

Dans un repère orthogonal, on donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et les tangentes à $C_f$, $T_A$, $T_B$ et $T_C$ respectivement aux points $A$ d'abscisse $-2$, $B$ d'abscisse $-3$ et $C$ d'abscisse $-1$.

Par lecture graphique, déterminer
1. $f(-3)$
  
  Aide
  
  Le point de la courbe d'abscisse $-3$ a pour ordonnée $f(-3)$
  
  Solution
  
  Le point $B$ a pour ordonnée $-2$
2. $f'(-2)$ et $f'(-3)$ en justifiant la réponse.
  
  Rappel de cours
  
  Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
  $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
  La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
  et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
  
  Aide
  
  Il faut déterminer graphiquement le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-3$
  Le coefficient directeur d'une droite passant par $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ est $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
  
  Solution
  
  $f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ à la courbe au point $A$ d'abscisse $-2$.
  $T_A$ est parallèle à l'axe des ordonnées donc a pour coefficient directeur $0$
  
  $f'(-3)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_B$ à la courbe au point $B$ d'abscisse $-3$.
  On a $B(-3;-2)$ et le point $B'(-2;7)$ appartient à $T_A$
  donc $f'(-3)=\dfrac{y_{B'}-y_B}{x_{B'}-x_B}=\dfrac{7-(-2)}{-2-(-3)}=9$
  
  Il y a deux carreaux pour une unité sur l'axe des abscisses!
  
  On peut aussi lire directement le coefficient directeur sur le graphique:
  
  $f'(-3)=\dfrac{\text{variations des ordonnées}}{\text{variations des abscisses}}=\dfrac{9}{1}=9$
3. $f'(-1)$ (sans justifier).
  
  Solution
  
  Avec le graphique, on a:
  
  $f'(-1)=\dfrac{3}{-1}=-3$
4. La tangente $T_E$ à la courbe $C_f$ au point $E$ d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ a pour équation réduite $y=\dfrac{15x-12}{4}$.
  Placer $E$ et tracer $T_E$.
  Que vaut $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$?
  
  Aide
  
  Il faut déterminer les coordonnées de deux points de $T_E$ pour la tracer en prenant par exemple $x=0$ et le point de contact entre la tangente et la courbe.
  
  Solution
  
  Le point $E$ est le point de la courbe d'abscisse $0,5$ et d'ordonnée $-1$ (voir graphique).
  Si on prend $x=0$, on a $y=\dfrac{0-12}{4}=-3$
  
  $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ est le coefficient directeur de $T_E$
5. Quel est le signe de $f'(-2,5)$?
  
  Rappel de cours
  
  Signe de la dérivée et variations d'une fonction
  Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
  $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
  $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
  
  Aide
  
  Il faut déterminer le sens de variation de $f$ en $x=-2,5$
  
  Solution
  
  $f$ est strictement croissante sur $]-3,5;-2]$ par exemple
$f(x)=x^3+3x^2-2$
1. Calculer $f'(x)$.
  
  Rappel de cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Aide
  
  Il faut dériver $x^3$ et $x^2$
  La dérivée d'une fonction constante est 0
  
  Solution
  
  $f'(x)=3x^2+3\times 2x+0=3x^2+6x$
  
  Une erreur courante est "d'oublier" que la dérivée d'une fonction constante $x \longmapsto a$ ($A$ réel quelconque) est nulle en écrivant par exemple que $f'(x)=3x^2+6x-2$...
2. Retrouver la valeur de $f'(-2)$ et de $f'(-3)$ par le calcul.
  
  Aide
  
  Il faut remplacer successivement $x$ par $-2$ puis $-3$ dans l'expression de $f'(x)$
  
  Solution
  
  $f'(x)=3x^2+6x$
  $f'(-2)=3\times (-2)^2+6\times (-2)=12-12=0$
  $f'(-3)=3\times (-3)^2+6\times (-3)=27-18=9$
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_D$ à la courbe au point $D$ d'abscisse $1$ puis la tracer dans le repère ci-dessus.
  
  Rappel de cours
  
  Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
  $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
  La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
  et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
  
  Aide
  
  Il faut calculer $f'(1)$ puis $f(1)$
  La tangente $T_D$ a pour coefficient directeur $f'(1)$ et passe par le point $D(1;f(1))$
  
  Solution
  
  $f'(1)=3\times 1^2+6\times 1=9$
  $f(1)=1+3-2=2$
  $T_D$: $y=f'(1)(x-1)+f(1)=9(x-1)+2=9x-9+2=9x-7$

Exercice 2 (3 points)

Question de cours
La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.

Pour tout réel $h\neq 0$, exprimer le taux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $3+h$ en fonction de $h$.

Rappel de cours

Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

Aide

aux identités remarquables pour développer $(3+h)^2$

Solution

$f(3)=3^2=9$
et $f(3+h)=(3+h)^2=9+6h+h^2$
$T_h=\dfrac{f(3+h)-f(3)}{3+h-3}$
$\phantom{T_h}=\dfrac{9+6h+h^2-9}{h}$
$\phantom{T_h}=\dfrac{6h+h^2}{h}$
$\phantom{T_h}=\dfrac{h(6+h)}{h}$
$\phantom{T_h}=6+h$
En utilisant le taux d'accroissement, montrer que $f$ est dérivable en $x=3$ et donner la valeur de $f'(3)$.

Rappel de cours

0
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)

Aide

Il faut chercher la limite de $T_h$ quand $h\longrightarrow 0$

Solution

Lorsque $h \longrightarrow 0$ on a $T_h \longrightarrow 6$

On retrouve ce résultat avec $f'(x)=2x$ et donc $f'(3)=2\times 3=6$