MATHS-LYCEE.FR maths devoir corrigé chapitre

Exercice 1 (8 points)

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et les droites T et T' sont les tangentes à la courbe aux points $A$ et $B$ d'abscisses respectives $x_A=2$ et $x_B=3$. \begin{center}

\end{center}

Par lecture graphique, déterminer $f'(2)$ en justifiant la réponse puis $f'(3)$ (sans justifier).

Rappel de cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut déterminer le coefficient directeur des droites $T$ et $T'$

Solution

$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la la courbe au point $A$ d'abscisse 2
et $T$ est parallèle à l'axe des abscisses donc a pour coefficient directeur 0

$f'(3)$ est le coefficient directeur de la tangente $T'$ à la courbe au point $B$ d'abscisse 3.
$T'$ passe par $B(3;3)$ et $C(4;-6)$ donc le coefficient directeur de $T'$ est $\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\dfrac{3-(-6)}{3-4}=-9$
Déterminer l'ordonnée du point $B$ puis l'équation réduite de la tangente T'.

Rappel de cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Il faut utiliser $f(3)$ et $f'(3)$

Solution

Le point $B$ a pour coordonnées $(3;3)$ donc $f(3)=3$ et on a $f'(3)=-9$.
$y=f'(3)(x-3)+f(3)$
$\phantom{y}=-9(x-3)+3$
$\phantom{y}=-9x+27+3$
$\phantom{y}=-9x+30$

cela signifie que $T'$ coupe l'axe des ordonnées à l'ordonnée 30.
Graphiquement, déterminer le signe de $f'(-0,5)$.

Aide

Il faut déterminer le sens de variation de $f$ en $-0,5$

Solution

$f$ est décroissante sur $[-2;0]$ par exemple
donc le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-0,5$ est négatif
$f(x)=-x^3+3x^2+3$
1. Calculer $f'(x)$.
  
  Rappel de cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Solution
  
  $f'(x)=-3x^2+3\times 2x+0=-3x^2+6x$
2. Contrôler par le calcul le résultat donné pour $f'(3)$ par lecture graphique.
  
  Aide
  
  On utilise $f'(x)=-3x^2+6x$ avec $x=3$
  
  Solution
  
  $f'(x)=-3x^2+6x$ donc $f'(3)=-3\times 3^2+6\times 3=-27+18=-9$
3. Calculer $f'(1)$ puis tracer la tangente T'' à la courbe au point d'abscisse $1$.
  
  Aide
  
  On utilise $f'(x)=-3x^2+6x$ avec $x=1$
  
  Solution
  
  $f'(x)=-3x^2+6x$ donc $f'(1)=-3\times 1^2+6\times 1=-3+6=3$
  
  La tangente $T''$ à la courbe au point d'abscisse $1$ a pour coefficient directeur $f'(1)=3$.

Exercice 2 (12 points)

Compléter le tableau ci-dessous:

Solution
Pour chaque fonction $f$ définie et dérivable sur $D_f$, calculer $f'(x)$.
1. $f(x)=2x-3+\dfrac{3}{x}$ avec $D_f=\mathbb{R}^*$
  
  Rappel de cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Aide
  
  Il faut dériver $2x-3$ puis $\dfrac{1}{x}$
  
  Solution
  
  $f(x)=2x-3+3\times \dfrac{1}{x}$
  $f'(x)=2+3\times \dfrac{-1}{x^2}=2-\dfrac{3}{x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{1}{x^2+2}$ avec $D_f=\mathbb{R}$
  
  Rappel de cours
  
  Formules de dérivation (produit, quotient...)
  
  Aide
  
  On pose $v(x)=x^2+2$
  
  Solution
  
  On pose $v(x)=x^2+2$ et on a $v'(x)=2x$
  $f'(x)=\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}=\dfrac{-2x}{(x^2+2)^2}$
3. $f(x)=x^2\sqrt{x}$ avec $D_f=]0;+\infty[$
  
  Rappel de cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Aide
  
  On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et $f(x)=u(x) \times v(x)$
  
  Solution
  
  On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=\sqrt{x}$
  et on s $u'(x)=2x$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
  $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
  $\phantom{f'(x)}=2x\sqrt{x}+x^2\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
  $\phantom{f'(x)}=2x\sqrt{x}+ \dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}$
  $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}+ \dfrac{x^2}{2\sqrt{x}}$
  $\phantom{f'(x)}=\dfrac{4x^2+ x^2}{2\sqrt{x}}$
  $\phantom{f'(x)}=\dfrac{5x^2}{2\sqrt{x}}$
4. $f(x)=\dfrac{2x-1}{4-2x}$ avec $D_f=\mathbb{R}\setminus \lbrace 2 \rbrace$
  
  Aide
  
  On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=4-2x$ et $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
  
  Solution
  
  On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=4-2x$
  et on a $u'(x)= 2 $ et $v'(x)= -2 $
  $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
  $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2( 4-2x )-( 2x-1 )( -2 )}{( 4-2x )^2}$
  $\phantom{f'(x)}=\dfrac{8-4x-(-4x+2)}{( 4-2x )^2}$
  $\phantom{f'(x)}=\dfrac{8-4x+4x-2}{( 4-2x )^2}$
  $\phantom{f'(x)}=\dfrac{6}{( 4-2x )^2}$