Exercice 1 (8 points)
Dans un pays X , les conseillers financiers sont classés en deux catégories: ceux qui sont bien informés et ceux qui ne le sont pas. Lorsqu'un conseiller financier bien informé recommande un titre, le cours de celui-ci monte dans 70% des cas.
Dans le cas d'un conseiller financier mal informé, le cours ne monte pas dans 60% des cas. On considère que 20% des conseillers financiers sont bien informés. Un client choisit au hasard un conseiller financier qui lui recommande une valeur.
On note :
- $I$ est l'événement : "le conseiller est bien informé"
- $C$ est l'événement : "le cours monte "
  1. Compléter le tableau suivant:
    Compléter d'abord la dernière colonne du tableau avec la donnée "20% des conseillers financiers sont bien informés"
    20% des conseillers financiers sont bien informés soit $\dfrac{20}{100}\times 100=20$ conseillers.
    Lorsqu'un conseiller financier bien informé recommande un titre, le cours de celui-ci monte dans 70% des cas soit pour $\dfrac{70}{100}\times 20=14$ cas.
    Dans le cas d'un conseiller financier mal informé, le cours ne monte pas dans 60% des cas soit $\dfrac{60}{100}\times 80=48$ cas.
    On a donc:
  2. Déterminer la probabilité de l'événement: "Le conseiller est bien informé et le cours monte".
    L'événement: " Le conseiller est bien informé et le cours monte" se note $C\cap I$
    L'événement: " Le conseiller est bien informé et le cours monte" se note $C\cap I$
    Il y a 14 cas pour lesquels le conseiller est bien informé et le cours monte parmi les 100
  3. Que signifie $I \cap \overline{C}$?
    Calculer $p(I \cap \overline{C})$.
    On veut que le conseiller soit bien informé et que le cours ne monte pas
    $I \cap \overline{C}$ signifie que le conseiller soit bien informé et que le cours ne monte pas.
    Il y a 6 cas pour lesquels le conseiller est bien informé et le cours ne monte pas parmi les 100
  4. Sachant que le cours de la valeur est monté, quelle est la probabilité que le conseiller choisi soit mal informé.
    Il faut déterminer le nombre de conseillers mal informés parmi les 46 cas où le cours est monté.
    La probabilité que le conseiller choisi soit mal informé sachant que le cours de la valeur est monté est $p_C(\overline{I})$.
    Il y a 32 cas pour lesquels le conseiller est mal informé parmi les 46 cas où le cours est monté.
  5. Que signifie $ C \cup I$?
    Calculer la probabilité de cet événement.
    $ C \cup I$ signifie "le conseiller est bien informé ou bien le cours monte"
    $p(C \cup I)=p(C)+p(I)-p(C\cap \overline I)=\frac{20+46-32}{100}=\frac{52}{100}=0,52$
Exercice 2 (12 points)
Un client désirant louer une voiture auprès de la société ALIZÉ doit formuler sa demande en précisant deux critères :
-la puissance du véhicule : il a le choix entre deux catégories A ou B ;
- l'équipement : voiture climatisée ou non climatisée.
Une étude statistique portant sur un grand nombre de clients a permis d'établir que 60% des clients louent une voiture de catégorie A et que, parmi eux, 20% désirent la climatisation. En revanche, 60% des clients préférant la catégorie B optent pour la climatisation.
On note les événements:
-A:"le véhicule loué est de catégorie A"
- C: " le véhicule loué est équipé de la climatisation"
Partie 1 (7 points)
  1. Traduire à laide d'un arbre pondéré la situation décrite ci-dessus.

    Arbre pondéré


    Probabilités sur un arbre pondéré:
    Les données de l'énoncé peuvent se noter:
    60% des clients louent une voiture de catégorie A se note $p(A)=\dfrac{60}{100}=0,6$
    Parmi les clients d'une voiture de catégorie A 20% désirent la climatisation se note $p_A(C)=\dfrac{20}{100}=0,2$
    60% des clients préférant la catégorie B optent pour la climatisation se note $p_{\overline{A}}(C)=\dfrac{60}{100}=0,6$
    On a donc l'arbre pondéré suivant:
  2. Dans cette question, on donnera des résultats numériques exacts. On choisit au hasard un client et on définit les événements suivants :
    "Le client a choisi une voiture de catégorie A climatisée" et "Le client a choisi une voiture climatisée".
    Déterminer la probabilité de ces événements.

    Probabilité de l'événement $A\cap B$


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
    $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$

    Probabilités totales


    Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
    Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
    et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
    $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$
    Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer $p(C)$
    Le client a choisi une voiture de catégorie A climatisée se note $p(A\cap C)$
    $p(A\cap C)=p(A)\times p_A(C)=0,6\times 0,2=0,12$

    $A$ et $\overline{A}$ sont disjoints ($A\cap \overline{A}=\oslash$
    et $A\cup \overline{A}=\Omega$
    donc $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers
    donc en utilisant la formule des probabilités totales:
    $p(C)=p(A\cap C)+p(\overline{A}\cap C)$

    $\phantom{p(C)}=0,12+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(C)$

    $\phantom{p(C)}=0,12+0,4\times 0,6=0,36$
  3. Quelle est la probabilité pour que la voiture choisie soit de catégorie A, sachant qu'elle est climatisée ?

    Probabilité conditionnelle


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
    La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
    et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
    Utiliser $p(A\cap C)=p(C)\times p_C(A)$
    La probabilité pour que la voiture choisie soit de catégorie A, sachant qu'elle est climatisée se note $p_C(A)$
    $p_C(A)=\dfrac{p(A\cap C)}{p(C)}=\dfrac{0,12}{0,36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$


Partie 2 (5 points)
Le coût d'une journée de location d'une voiture de catégorie A est de 80 euros par jour et pour la catégorie B de 110 euros par jour.
Pour chacune de ces deux catégories, le supplément pour la climatisation est de 15 euros.
  1. Compléter le tableau ci-dessous correspondant aux différents coût possibles pour une journée de location en justifiant les valeurs obtenues pour les probabilités:

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    Il faut identifier les quatre cas possibles sur l'arbre et associer le coût correspondant ainsi que la probabilité d'obtenir ce coût.
    Il y a quatre cas possibles (voir les quatre parcours sur l'arbre)
    Le véhicule A sans climatisation revient à 80 euros
    et cela correspond à l'événement $A\cap \overline{C}$ et $p(A\cap \overline{C})=0,6\times 0,8=0,48$

    Le véhicule A avec climatisation revient à 95 euros
    et cela correspond à l'événement $A\cap C$ et $p(A\cap C)=0,6\times 0,2=0,12$

    Le véhicule B sans climatisation revient à 110 euros
    et cela correspond à l'événement $\overline{A} \cap \overline{C}$ et $p(\overline{A} \cap \overline{C})=0,4\times 0,4=0,16$

    Le véhicule B avec climatisation revient à 125 euros
    et cela correspond à l'événement $\overline{A}\cap C$ et $p(\overline{A}\cap C)=0,4\times 0,6=0,24$
  2. Le loueur affirme dans sa publicité: "Chez ALIZE, la journée de location revient en moyenne à moins de 100 euros".
    Est-ce justifié compte tenu des données disponibles?

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    Il faut calculer l'espérance avec les données du tableau précédent.
    L'espérance est alors de:
    $E=80\times 0,48+95\times 0,12+110\times 0,16+125\times 0,24=97,4$
    Cela signifie que sur un grand nombre de locations, le coût d'une journée de location revient en moyenne à 97,4 euros soit moins de 100 euros donc l'affirmation est justifiée avec les données disponibles.

Fiche méthode


Si ce devoir vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

calculs de probabilités

- calcul de probabilités avec un arbre
- probabilités conditionnelles
- probabilités totales


infos: | 10-15mn |

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