Lorsque $x \longrightarrow 2^+$ alors $x-2$ se rapproche de $0$ et $x-2>0$ (car $x>2$)
et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=+\infty$
Remarque
On peut aussi calculer $f(x)$ pour des valeurs très proches de $2$, $f(2,1)$, $f(2,01)$, $f(2,001)$...
Lorsque $x$ devient très grand, le dénominateur est très grand
et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
Remarque
On peut aussi calculer $f(x)$ pour des valeurs très grande de $x$, $f(10)$, $f(100)$, $f(1000)$...

Pour tout $A > 0$, sachant que $x > 2$, on a:
$\dfrac{1}{x-2} > A \Longleftrightarrow 0 < x-2 < \dfrac{1}{A} \Longleftrightarrow 2 < x < \dfrac{1}{A}+2$.
En prenant $\varepsilon=\dfrac{1}{A}$
Pour tout réel $A >0$, il existe $\varepsilon >0$ tel que $f(x) > A$ pour tout $x\in ]2;2+\varepsilon[$.
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=+\infty$
En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
$\forall A>0$, $\exists \varepsilon> 0$ tel que $f(x)> A$ $\forall x\in ]2;2+\varepsilon[$(même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)
Remarque
On a alors la droite d'équation $x=2$ pour asymptote à la courbe représentative de $f$.

La droite d'équation $x=a$ est asymptote à la courbe.

Pour tout $A >0$
$\dfrac{1}{x-2} >A \Longleftrightarrow 1< A(x-2) \Longleftrightarrow 1+2A $ \dfrac{1+2A}{A}=\dfrac{1}{A}+A$
En prenant $x_0=\dfrac{1}{A}+A$, pour tout réel $A >0$, Il existe $x_0$ tel que $f(x)> A$ pour tout $x > x_0$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
$\forall A>0$, $\exists x_0 $ tel que $f(x)> A$ $\forall x> x_0$(même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
donc la droite d'équation $y=0$ (axe des abscisses) est asymptote à la courbe en $+\infty$.