MATHS-LYCEEOn donne le tableau de variation avec les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
dans chaque cas, donner une représentation graphique possible de $f$ en traçant les asymptotes éventuelles.
- Cas 1:
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.
On doit tracer les droites d'équations $x=-3$ et $y=5$ (asymptotes)On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=5$
donc la droite d'équation $y=5$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3^+}f(x)=-\infty$
donc la droite d'équation $x=-3$ est asymptote à la courbe.
- Cas 2:
On doit tracer les droites d'équations $x=-4$ et $y=6$ (asymptotes)On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=-\infty$
donc la droite d'équation $x=-4$ est asymptote à la courbe.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 6^-}f(x)=-\infty$
donc la droite d'équation $x=6$ est asymptote à la courbe.
- Cas 3:
On doit tracer les droites d'équations $x=-4$ et $x=-2$ et $y=3$ (asymptotes)On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=-\infty$
donc la droite d'équation $x=-4$ est asymptote à la courbe.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)=+\infty$
donc la droite d'équation $x=-2$ est asymptote à la courbe.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=3$
donc la droite d'équation $y=3$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.
Attention les fonctions ci-dessous sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
Cours nº 1101
Vous pouvez retourner sur le cours après avoir vu cette vidéo.
Limites en +00 et -00, limites "usuelles"
- limite infinie en plus ou moins l'infini
- limite finie en plus ou moins l'infini
- limite en une valeur finie
-limites usuelles
infos cours
| 15-20mn
série 2 : utilisation des définitions et asymptotes
exercices semblables
Si vous souhaitez vous emtraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.