MATHS-LYCEEOn donne le tableau de variation avec les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
dans chaque cas, donner une représentation graphique possible de $f$ en traçant les asymptotes éventuelles.
- Cas 1:
limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I
La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$On doit tracer les droites d'équations $x=-4$ et $y=1$ (asymptotes)On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=+\infty$
donc la droite d'équation $x=-4$ est asymptote à la courbe.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=+\infty$
donc la droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe.
- Cas 2:
On doit tracer les droites d'équations $x=-4$, $x=1$, $x=3$ et $y=-1$ (asymptotes)On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=+\infty$
donc la droite d'équation $x=-4$ est asymptote à la courbe.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$
donc la droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=-\infty$
donc la droite d'équation $x=3$ est asymptote à la courbe.
On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-1$
donc la droite d'équation $y=-1$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.
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Cours nº 1101
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Limites en +00 et -00, limites "usuelles"
- limite infinie en plus ou moins l'infini
- limite finie en plus ou moins l'infini
- limite en une valeur finie
-limites usuelles
infos cours
| 15-20mn
série 2 : utilisation des définitions et asymptotes
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